为什么周长相同的三角形,直角三角形面积最大也可能是正三角形，要有依据

为什么周长相同的三角形,直角三角形面积最大也可能是正三角形，要有依据
为什么周长相同的三角形,直角三角形面积最大
也可能是正三角形，要有依据

为什么周长相同的三角形,直角三角形面积最大也可能是正三角形，要有依据
啊,题目终于改了呀,应该是正三角形面积最大
举个很简单的反例：直角三角形边长：3,4,5,面积为6=4×1.5
等边三角形边长：4,4,4,面积为4²√3÷4=4√3
因为 √3≈1.7＞1.5
所以 正三角形面积＞直角三角形面积
证明的话,不知道你能不能接受.
均值不等式：abc≤[(a+b+c)/3]³,且仅当a=b=c时取等号
1）用海伦公式证
设△三边a,b,c,△周长L=a+b+c（L为定值）
海伦公式：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]【p=½L,也是定值】
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=√p•√[(p-a)(p-b)(p-c)]
≤√p•√{【[(p-a)+(p-b)+(p-c)]/3】³}【均值不等式】
=√p•√【[(3p-2p)/3]³】
=√p•√(p³/27)
=√3•p²/9
即S△≤(√3•p²)/9
且仅当a=b=c时取等号.
即当 三角形是等边三角形时面积最大
2）用正弦定理证
和化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
倍角公式：sin(2α)=2sinα•cosα
设a,b,c为三角形三边,A,B,C为别为a,b,c的对角,△周长L=a+b+c（L为定值）
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是三角形外接圆半径）
由和比定理得：(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R
所以 sinC=c/2R
S△=½absinC
=½ab•(c/2R)
=½•abc/2R
≤½•[(a+b+c)/3]³/2R
=½•(L³/27)/[ (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)]
=½•(L³/27)/[L/(sinA+sinB+sinC)]
=½•(L³/27)•(sinA+sinB+sinC)/L
=½•27L²•(sinA+sinB+sinC)
即S△≤½•27L²•(sinA+sinB+sinC)
且仅当 a=b=c时取等号
下面就是考察sinA+sinB+sinC
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
sinC=sin[2(C/2)]=2sin(C/2)cos(C/2)
所以 sinA+sinB+sinC
=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2sin(C/2)cos(C/2)
因为 A+B+C=π
所以 sinA+sinB+sinC
=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2sin(C/2)cos(C/2)
=2sin[(π-C)/2]cos[(A-B)/2]+2sin[π-(A+B)/2]cos(C/2)
=2cos(C/2)cos[(A-B)/2]+2cos[(A+B)/2]cos(C/2)
提公因式cos(C/2)
=2cos(C/2)【cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]】
因为cos[(A+B)/2]=cos(A/2)cos(B/2)-sin(A/2)sin(B/2)
cos[(A-B)/2]=cos(A/2)cos(B/2)+sin(A/2)sin(B/2)
所以 cos((A-B)/2)+cos((A+B)/2)=2cos(A/2)cos(B/2)
所以 sinA+sinB+sinC
=2cos(C/2)•2cos(A/2)cos(B/2)
=4cos(C/2)cos(A/2)cos(B/2)
≤4【[cos(C/2)+cos(A/2)+cos(B/2)]/3】³
且仅当 cos(C/2)=cos(A/2)=cos(B/2)时取等号
即 A=B=C=60°时取等号
即当 a=b=c时,sinA+sinB+sinC取最大值
因为S△≤½•27L²•(sinA+sinB+sinC)
a=b=c时取等号,且sinA+sinB+sinC取最大值
所以等边三角形面积最大
【打字真累啊……】

面积最大的因该不是直角三角形
面积最大的是等边三角型

设两条直角边的长分别为x,y,则斜边的长为根号下（x^2+y^2）
由题意可知，x+y+根号下（x^2+y^2）=1
利用不等式性质可知，xy<=3-2根号2
所以面积最大值为3/2-根号2