多变量函数求导关于偏导数的一道证明题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 06:08:11

多变量函数求导关于偏导数的一道证明题
多变量函数求导关于偏导数的一道证明题

多变量函数求导关于偏导数的一道证明题

把x看成v,w的函数，y看成w,u的函数，z看成u,v的函数，可得
əF/əu=əf/əy·əy/u+əf/əz·əz/əu
əF/əv=əf/əx·əx/əv+əf/əz·əz/əv
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把x看成v,w的函数，y看成w,u的函数，z看成u,v的函数，可得
əF/əu=əf/əy·əy/u+əf/əz·əz/əu
əF/əv=əf/əx·əx/əv+əf/əz·əz/əv
əF/əw=əf/əx·əx/əw+əf/əy·əy/w
由x²=vw，两边对v求导，得2xəx/əv=w，即2əx/əv=w/x
同样对w求导可得2əx/əw=v/x，同理由y²=wu，z²=uv，
可得2əy/əw=u/y，2əy/əu=w/y，2əz/əu=v/z，2əz/əv=u/z
∴uəF/əu=uw/(2y)·əf/əy+uv/(2z)·əf/əz=y/2·əf/əy+z/2·əf/əz
同理vəF/əv=x/2·əf/əx+z/2·əf/əz，wəF/əw=x/2·əf/əx+y/2·əf/əy
∴uəF/əu+vəF/əv+wəF/əw=xəf/əx+yəf/əy+zəf/əz

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