已知sinα与sinβ分别是sinθ与cosθ的等差中项与等比数列的中项,求证:2cos2α=cos2β=2{cos(π/4 +θ)}^2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 01:37:14

已知sinα与sinβ分别是sinθ与cosθ的等差中项与等比数列的中项,求证:2cos2α=cos2β=2{cos(π/4 +θ)}^2
已知sinα与sinβ分别是sinθ与cosθ的等差中项与等比数列的中项,求证:2cos2α=cos2β=2{cos(π/4 +θ)}^2

已知sinα与sinβ分别是sinθ与cosθ的等差中项与等比数列的中项,求证:2cos2α=cos2β=2{cos(π/4 +θ)}^2
因为2sinα=sinθ+cosθ,(sinβ)^2=sinθcosθ,
所以(2sinα)^2=1+2sinθcosθ=1+2(sinβ)^2,
即4(sinα)^2-2=2(sinβ)^2-1,
所以2cos2α=cos2β.
2{cos(π/4 +θ)}^2=2{cosπ/4cosθ-sinπ/4sinθ}^2=2{根号2/2(cosθ-sinθ)}^2=(cosθ-sinθ)^2=1-2sinθcosθ=1-2(sinβ)^2=cos2β.
所以有:2cos2α=cos2β=2{cos(π/4 +θ)}^2

因为2sinα=sinθ+cosθ,(sinβ)^2=sinθcosθ,
所以(2sinα)^2=1+2sinθcosθ=1+2(sinβ)^2,
即4(sinα)^2-2=2(sinβ)^2-1,
所以2cos2α=cos2β.

根据题意:
sinθ + cosθ=2sinα--------1
sinθ * cosθ=(sinβ)^2-----2
式子1两边平方:
1+2sinθ * cosθ=4(sinα)^2
把式子2代入:
1+2(sinβ)^2=4(sinα)^2
1+2*(1-cos2β)/2=4*(1-cos2α)/2
2-cos2β=2-cos2α
2COS2α=cos2β

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