不等式的证明,这道题除了数学归纳法,不等式放缩怎么解

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 14:47:56

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由√(n-1)+√n＜2√n,两边倒过来化简得：1/√n＜2/[√n+√(n-1)]=2×[√n-√(n-1)]
故原证不等式可化为：
1+1/√2+1/√3+...+1/√n＜2×[√n-√(n-1)+√(n-1)-√(n-2)+...+√2-1=2×(√n-1)
故即证明：2×(√n-1)＜√2(√(2n+1)-1)
下面证明：消去个√2有：√2×(√n-1)＜√(2n+1)-1
将左边张开,把右边的1移过去得：√2n-√2+1＜√(2n+1)
进一步化简得：-√2+1＜√(2n+1)-√2n
因为-√2+1＜0,0＜√(2n+1)-√2n,所以-√2+1＜√(2n+1)-√2n成立
故原所证明不等式成立,证毕

学过微积分吗？坐标的级数和可以放大成一个积分，积分结果可以和右边直接比大小了。

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