函数的性质及应用.已知函数f（x）满足f（2）=1//2 ,2f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x,y∈R）,则f（2012）=______

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 15:09:35

函数的性质及应用.已知函数f（x）满足f（2）=1//2 ,2f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x,y∈R）,则f（2012）=______
函数的性质及应用.
已知函数f（x）满足f（2）=1//2 ,2f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x,y∈R）,则f（2012）=______

函数的性质及应用.已知函数f（x）满足f（2）=1//2 ,2f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x,y∈R）,则f（2012）=______
令y=0, 2f(x)f(0)=2f(x), 因f(2)<>0, 所以f(0)=1
令y=2, 2f(x)f(2)=f(x+2)+f(x-2), f(x)=f(x+2)+f(x-2)
f(x+4)=f(x+2)-f(x)
f(x+6)=f(x+4)-f(x+2)=-f(x)
f(x+12)=-f(x+6)=f(x),即12为f(x)的周期.
f(2012)=f(12x167+8)=f(8)=f(2+6)=-f(2)=-1/2.

2f(2)f(0)=2f(2)=1
f(0)=1
2f(2)f(2)=f(4)+f(0)
f(4)=-1/2
2f(4)f(2)=f(6)+f(2)
f(6)=-1
……
(2012-4)/2=1004
f(2012)=-1/2-(1/2*1004)=-1005/2

f（2012）= -1
函数f（x)是偶函数

一看就是周期函数的应用

首先令x=2,y=0,带入得 2 f(2) f(0) = f(2) + f(2) ,于是f(0) = 1
再令y = 2 ,带入得 2 f(x) f(2) = f(x+2) + f(x-2)
由此递推公式及及初始值得到
f(0）= 1，f(2）= 1/2 , f(4) = -1/2, f(6) = -1, f(8) = -1/2, f(10) = 1...

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首先令x=2,y=0,带入得 2 f(2) f(0) = f(2) + f(2) ,于是f(0) = 1
再令y = 2 ,带入得 2 f(x) f(2) = f(x+2) + f(x-2)
由此递推公式及及初始值得到
f(0）= 1，f(2）= 1/2 , f(4) = -1/2, f(6) = -1, f(8) = -1/2, f(10) = 1/2, f(10) = 1, f(12) = 1/2
观察得周期为12 于是f(2012) = 1/2

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令y=x和y=-x。代入2f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）。则得 2f（x）f（x）=f（x+x）+f（x-x）=f（2x）+f（0） 1
2f（x）f（-x）=f（x+-x）+f（x-(-x)）=f（2x）+f（0） 2
所以1式和2式相等。故2f（x）f（x）=2f（x）f（-x）。又因为f（x）<>0，所以f（x）=f（-x）。加上（x，y∈R）。即函数f（x）是偶函数。
令y=0, 2f(x)f(0)=2f(x), 因f(2)<>0, 所以f(0)=1，令y=2, 2f(x)f(2)=f(x+2)+f(x-2), f(x)=f(x+2)+f(x-2)
f(x+4)=f(x+2)-f(x)
f(x+6)=f(x+4)-f(x+2)=-f(x)
f(x+12)=-f(x+6)=f(x),即12为f(x)的周期。
f(2012)=f(12x167+8)=f(8)=f(2+6)=-f(2)=-1/2（在此题中可以不求该函数的奇偶性，但大多数此类题是要求掌握奇偶性的）

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