在ABCD中,AE垂直BD,CE垂直BD,垂足分别为E,F,G,H分别是AD,BC的中点,试证明EF和GH互相平分
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 19:24:59
在ABCD中,AE垂直BD,CE垂直BD,垂足分别为E,F,G,H分别是AD,BC的中点,试证明EF和GH互相平分
在ABCD中,AE垂直BD,CE垂直BD,垂足分别为E,F,G,H分别是AD,BC的中点,试证明EF和GH互相平分
在ABCD中,AE垂直BD,CE垂直BD,垂足分别为E,F,G,H分别是AD,BC的中点,试证明EF和GH互相平分
证法1】:
连接EG,HF
∵AE⊥BC,G为AD的中点
∴EG为Rt⊿AED的斜边中线
∴EG=½AD=DG
∴∠GED=∠GDB
同理:
HF=½BC=BH
∴∠HFB=∠HBD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴①AD=BC
∴EG=HF
②AD//BC
∴∠GDB=∠HBD
∴∠GED=∠HFB
∴EG//HF
∴四边形EGFH为平行四边形
∴EF和GH互相平分
【证法2】:
设BD于GH交于O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AD//BC
∴∠GDO=∠BHO,∠GDO=∠HBO
∵G,H是AD,BC的中点
∴DG=BH
∴⊿DGO≌⊿BHO(ASA)
∴GO=HO,DO=BO
∵AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AED=∠CFB=90º
又∵∠ADE=∠CBF,AD=BC
∴⊿ADE≌⊿CBF(AAS)
∴DE=BF
∴DE-DO=BF-BO
即EO=FO
∴EF和GH互相平分
证法1】:
连接EG,HF
∵AE⊥BC,G为AD的中点
∴EG为Rt⊿AED的斜边中线
∴EG=½AD=DG
∴∠GED=∠GDB
同理:
HF=½BC=BH
∴∠HFB=∠HBD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴①AD=BC
∴EG=HF
②AD//BC
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证法1】:
连接EG,HF
∵AE⊥BC,G为AD的中点
∴EG为Rt⊿AED的斜边中线
∴EG=½AD=DG
∴∠GED=∠GDB
同理:
HF=½BC=BH
∴∠HFB=∠HBD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴①AD=BC
∴EG=HF
②AD//BC
∴∠GDB=∠HBD
∴∠GED=∠HFB
∴EG//HF
∴四边形EGFH为平行四边形
∴EF和GH互相平分
【证法2】:
设BD于GH交于O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AD//BC
∴∠GDO=∠BHO,∠GDO=∠HBO
∵G,H是AD,BC的中点
∴DG=BH
∴⊿DGO≌⊿BHO(ASA)
∴GO=HO,DO=BO
∵AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AED=∠CFB=90º
又∵∠ADE=∠CBF,AD=BC
∴⊿ADE≌⊿CBF(AAS)
∴DE=BF
∴DE-DO=BF-BO
即EO=FO
∴EF和GH互相平分
收起
此题出错,ABCD应为平行四边形,,
abcd是平行四边形吧。。。
AD=BC G、H为中点,故GD=HB
角gdo=角hob (gh与bd交点为o),角dgo=bho
由ASA得三角形gdo全等于hbo
故go=ho
连接ao、co
易证eo=fo
故得证