设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明:abc(a^2+b^2+c^2)≤3(保加利亚数学奥林匹克试题)请认真回答,好的我会进行追加分的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 07:24:20
设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明:abc(a^2+b^2+c^2)≤3(保加利亚数学奥林匹克试题)请认真回答,好的我会进行追加分的
设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明:abc(a^2+b^2+c^2)≤3
(保加利亚数学奥林匹克试题)
请认真回答,好的我会进行追加分的
设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明:abc(a^2+b^2+c^2)≤3(保加利亚数学奥林匹克试题)请认真回答,好的我会进行追加分的
其实这题目很锻炼思维的,下面是我的解答,大家看看对不对.(看图片,文字是latex代码)
由于对于任意$x,y,z \ge 0$,有$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$.
把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 \ge 3abc(a+b+c)=9abc$,所以$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{abc}$
所以由平均值不等式得到,
\[\sqrt[3]{9abc(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt[3]{3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)} \]
\[\le \frac{3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+a^2+b^2+c^2}{3}\le \frac{2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2}{3}=3\].
从而证明了$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3$.即所需的不等式.
难哦
令f(x)=x^2 易知,f(x)是凸函数
由琴生不等式,知 f((a+b+c)/3)≤(f(a)+f(b)+f(c))/3
即 ((a+b+c)/3)^2=1≤(a^2+b^2+c^2)/3
由均值不等式,a+b+c=3 知 abc≤1
非常抱歉,只能做到这儿了。式子的不等号方向存在问题
证明:∵a、b、c∈R+,且a+b+c=3,
∴设a=1-x,b=1,c=1+x,x<1
abc(a^2+b^2+c^2)=(1-x^2)[(1-x)^2+1+(1+x)^2]=(1-x^2)(3+2x^2)=3-x^2-2x^4≤3
杨满川老师 :你只假定了b=1时 的特殊情况,
(1)首先由不等式定理x^3+y^3+z^3>=3xyz,(x、y、z∈R+)知:a、b、c∈R+,且a+b+c=3推出:
abc<=1 ----------(*1)
(2)然后(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc,这其中有:
2ab+2ac+2bc>=6(abc...
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(1)首先由不等式定理x^3+y^3+z^3>=3xyz,(x、y、z∈R+)知:a、b、c∈R+,且a+b+c=3推出:
abc<=1 ----------(*1)
(2)然后(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc,这其中有:
2ab+2ac+2bc>=6(abc)^(2/3)-------(*2)
而由(*1)知:(abc)^(2/3)>=abc -----(*3)
从而由(*2)、(*3)知:
(a+b+c)^2>=(a^2+b^2+c^2)+6abc ------(*4)
(3)观察(*4)左边为9,右边>=2*(a^2+b^2+c^2)^(1/2) * (6abc)^(1/2)
左右两边平方得:81>=24abc(a^2+b^2+c^2)
从而84>81>=24abc(a^2+b^2+c^2)得:
abc(a^2+b^2+c^2)≤3
PS:写的有点凌乱,但是思路应该挺清晰的:)
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关注,lz还没加分啊,好难的题目
ls只证明了<=81/24=3.3 而不是3
如果b=1,可以证明结果<5/2,特例不能算
My_Mathematics的方法很巧妙!
郁闷啊!刚答的好像都不见了,估计我手机输入长度有限制,我简要述说思路,设b为已知,令a=(3/2-b/2)- 根号t,c=(3/2-b/2)+根号t,b有范围,设函数=左边-3,得到关于t的二次函数,开口向下,只要证明最大值恒小于等于0!其最大值函数是把对称轴带入,得到关于b的函数,求导,得最大值函数的最大最小值,其最大值也是小于等于0的,就证明了!
借鉴于杨满川老师的方法,致敬!...
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郁闷啊!刚答的好像都不见了,估计我手机输入长度有限制,我简要述说思路,设b为已知,令a=(3/2-b/2)- 根号t,c=(3/2-b/2)+根号t,b有范围,设函数=左边-3,得到关于t的二次函数,开口向下,只要证明最大值恒小于等于0!其最大值函数是把对称轴带入,得到关于b的函数,求导,得最大值函数的最大最小值,其最大值也是小于等于0的,就证明了!
借鉴于杨满川老师的方法,致敬!
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奥数就是折磨人