已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线l:y=kx+9,又f′(-1)=0是否存在K的值,使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线.如果存在,请求出k的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 20:49:13
已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线l:y=kx+9,又f′(-1)=0是否存在K的值,使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线.如果存在,请求出k的值.
已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线l:y=kx+9,又f′(-1)=0
是否存在K的值,使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线.如果存在,请求出k的值.
已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线l:y=kx+9,又f′(-1)=0是否存在K的值,使直线l既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线.如果存在,请求出k的值.
f(x)=ax³+3x²-6ax-11
∴ f′(x)=3ax²+6x-6a,
∵ f′(-1)=0,
∴ 3a-6-6a=0,
∴a=-2.
f(x)=-2x³+3x²+12x-11
f′(x)=-6x²+6x+12,
∵直线y=kx+9恒过定点(0,9),
设直线与y=g(x)的切点是(x0,3x0²+6x0+12),
∵ g'(x)=6x+6
∴ g′(x0)=6x0+6,
∴切线方程为y-(3x0²+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)
∵ 过(0,9)
∴ 9-(3x0²+6x0+12)=(6x0+6)(0-x0)
∴ 3x0²=3
∴ x0=±1,
设直线与y=f(x)的切点横坐标为x1
(1)当x0=-1时,切线方程为y=9;
∵f'(x1)=0
∴ -6x1²+6x1+12=0
∴ x1=-1或x1=2
① 当x1=-1时,切点(-1,-18)
∴ y=f(x)的切线方程为y=-18;
② 当x1=2时,切点(2,9)
∴ y=f(x)的切线方程为y=9.
即公切线是y=9
(2)当x0=1时,切线方程为y=12x+9.
∵f'(x1)=0
∴ -6x1²+6x1+12=12
∴ x1=0或x1=1
① 当x1=0时,切点(0,-11)
∴ y=f(x)的切线方程为y=12x-11;
② 当x1=1时,切点(1,2)
∴ y=f(x)的切线方程为y=12x-10.
不存在公切线
∴存在公切线是y=9,此时k=0.
f'(x)=3ax^2+6x-6a, 代入x=-1得:3a-6-6a=0,a=-2
f'(x)=-6x^2+6x+12=-6(x+1)(x-2),可知f(x)有两个极值点:x=-1,x=2
并且在区间(-1,2)上单调递增,在区间(-∞, -1), (2, +∞)上单调递减
故f(x)在区间(-2,3)上的极大值为f(2)=9,极小值为f(-1)=-18