作业帮一道高中数学题求解!问题如下：已知函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）.（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若f（-3）=a,试用a表示f（12）.写清解题过程!不会的，别废话！！！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 00:40:19
一道高中数学题求解!问题如下：已知函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）.（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若f（-3）=a,试用a表示f（12）.写清解题过程!不会的，别废话！！！
一道高中数学题求解!
问题如下：
已知函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）.
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（-3）=a,试用a表示f（12）.
写清解题过程!
不会的，别废话！！！
一道高中数学题求解!问题如下：已知函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）.（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若f（-3）=a,试用a表示f（12）.写清解题过程!不会的，别废话！！！
1.令Y=-X,得到f(0)=f(x)+f(-x)
令X=Y=0,得到f(0)=2f(0),f(0)=0
所以f(X)+f(-X)=0
f(x)为奇函数
2.f(12)=f(6)+f（6）
=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)
=4f(3)
由（1）得f(x)=-f(-x)
f(3)=-f(-3)=-a
f(12)=-4a
1. 令均x,y为0，代入得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0;
令y=-x,代入f(0)=f(x)+f(-x);所以f(-x）=-f（x）;
2. f(12)=f(6)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=4f(3);
f(-3)=-f(3)=a;所以f(3)=-a;
所以f(12)=-4a;
（1）证：令y=0，则有f（0）=0；又令x=-y，则0=f（0）=f（x）+f（-x）即证得f（x）为奇函数
（2）易知f（2x）=2f（x），故f（6）=2f（3）=-2a，f（9）=f（3）+f（6）=-3a，所以f（12）=f（3）+f（9）=-4a
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因为函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=-y，f（0）=f（x）+f（-x）（1）
令y=0，f（x）=f（x）+f（0） （2）
（1）+（2），f（x）+f（-x）=0
f（x）是奇函数
f（-3）=f（-15+12）=f（-15）+f（12）
f（-15）=f（-3）+f（-12）=……=5*f（-3）=5a<...
全部展开
因为函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=-y，f（0）=f（x）+f（-x）（1）
令y=0，f（x）=f（x）+f（0） （2）
（1）+（2），f（x）+f（-x）=0
f（x）是奇函数
f（-3）=f（-15+12）=f（-15）+f（12）
f（-15）=f（-3）+f（-12）=……=5*f（-3）=5a
f（12）=-4a
收起
(1):证明：令x=y=0 则f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0）=0；令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以-f(x)=f(-x),即f(x)为奇函数
（2）：f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a,f(12)=f(9)+f(3);f(9)=f(6)+f(3);f(6)=f(3)+f(3);由此可以推出f(12)=4f(3)=-4a
(1):令 Y=-X得：f（0）=f（x）+f（-x）
令：X=0,Y=0.得f（0）=0
得f（x）=-f（-x），故为奇函数。
（2）：f(12)=f(6)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=4f(3);
f(-3)=-f(3)=a;所以f(3)=-a;
所以f(12)=-4a;
（1）：令y=x=0则f（0）=2f（0）所以f（0）=0
令y=-x 所以f（0）=f（x）+f（-x）所以f（x）为奇函数
（2）：因为f（x）为奇函数所以f（3）=f（-3）=-a
令y=x 所以f（2x）=2f（x）
令x=3 所以f（6）=-2a
令x=6 所以f（12）=-4a