设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x、y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时,f(x)>1.证明:f(x)是R上的调增函数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/14 14:38:00
设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x、y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时,f(x)>1.证明:f(x)是R上的调增函数.
设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x、y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时,f(x)>1.证明:f(x)是R上的
调增函数.
设f(x)是定义在R上的函数,且对于任意x、y∈R,恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时,f(x)>1.证明:f(x)是R上的调增函数.
由f(x+y)=f(x)f(y)可得到
f(x+1)=f(x)f(1)
又f(1)>1
即f(x+1)>f(x)*1
即得到
f(x+1)-f(x)>0
证明:当x=y=0时,f(0+0)=f(0)f(0)=f(0)
有f(0)=0或f(0)=1
当x=0,y=1时,f(0+1)=f(0)f(1)=f(1)
因为1>0,所以f(1)>1。即有f(0)=1
有f(x-x)=f(x)f(-x)=f(0)=1
f(x)=1/f(-x);对于任意的x,f(x)>0.
任意取x1,x2且x1>x2即x1-x2>...
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证明:当x=y=0时,f(0+0)=f(0)f(0)=f(0)
有f(0)=0或f(0)=1
当x=0,y=1时,f(0+1)=f(0)f(1)=f(1)
因为1>0,所以f(1)>1。即有f(0)=1
有f(x-x)=f(x)f(-x)=f(0)=1
f(x)=1/f(-x);对于任意的x,f(x)>0.
任意取x1,x2且x1>x2即x1-x2>0
f(x1-x2)=f(x1)f(-x2)=f(x1)/f(x2)>1
f(x1)>f(x2)
由定义得:f(x)是R上的增函数
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