已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 15:14:41

已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状
已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状

已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状
方法一：
∵（cosA＋2cosC）/（cosA＋2cosB）＝sinB/sinC,
∴cosAsinC＋2cosCsinC＝cosAsinB＋2cosBsinB
∴cosA（sinC－sinB）＝sin2B－sin2C＝2sin（B－C）cos（B＋C）＝－2sin（B－C）cosA
一、当cosA＝0时,A＝90°,此时三角形是直角三角形.
二、当cosA≠0时,两边同除以cosA,得：sinB－sinC＝2sin（B－C）
∴2sin［（B－C）/2］cos［（B＋C）/2］＝4sin［（B－C）/2］cos［（B－C）/2］
∴2sin［（B－C）/2］｛cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］｝＝0
∴sin［（B－C）/2］＝0,或cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］＝0.
1、由sin［（B－C）/2］＝0,得：B＝C.
2、由cos［（B＋C）/2］－2cos［（B－C）/2］＝0,得：
－3sin（B/2）sin（C/2）－cos（B/2）cos（C/2）＝0.
显然,B/2、C/2都是锐角,∴sin（B/2）＞0,sin（C/2）＞0,cos（B/2）＞0,cos（C/2）＞0
∴－3sin（B/2）sin（C/2）－cos（B/2）cos（C/2）＝0是不可能的.
综合1、2所述,得：B＝C,∴此时三角形是等腰三角形.
由一、二所述,得：满足条件的三角形是直角三角形或等腰三角形.
方法二：
∵（cosA＋2cosC）/（cosA＋2cosB）＝sinB/sinC,
∴cosAsinC＋2cosCsinC＝cosAsinB＋2cosBsinB
由余弦定理、正弦定理,容易得到：
［（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）］c＋2［（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）］c
＝［（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）］b＋2［（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）］b
去分母,得：
ac（b^2＋c^2－a^2）＋2c^2（a^2＋b^2－c^2）
＝ab（b^2＋c^2－a^2）＋2b^2（a^2＋c^2－b^2）
∴ac（b^2＋c^2－a^2）＋2c^2（a^2－b^2－c^2）＋4b^2c^2
＝ab（b^2＋c^2－a^2）＋2b^2（a^2－c^2－b^2）＋4b^2c^2
∴（b^2＋c^2－a^2）（ac－2c^2－ab＋2b^2）＝0
∴b^2＋c^2－a^2＝0,或ac－2c^2－ab＋2b^2＝0.
一、由b^2＋c^2－a^2＝0,得：此时的三角形是直角三角形.［勾股定理的逆定理］
二、由ac－2c^2－ab＋2b^2＝0,得：（ac－ab）＋2（c^2－b^2）＝0,
∴a（c－b）＋2（c＋b）（c－b）＝0,∴（c－b）（a＋2c＋2b）＝0.
显然,a＋2c＋2b＞0,∴c－b＝0,得：c＝b,∴此时的三角形是等腰三角形.
综合一、二,得满足条件的三角形是直角三角形或等腰三角形.

已知三角形ABC满足(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状 已知ABC为三角形ABC的三个内角 求证 cos(2A+B+C)=-cosA 已知三角形ABC,三内角满足A+B=2C,1/COSA+1/COSC=负根号2处以COSB,求COS（A-C)/2 已知三角形ABC的三个内角满足：A+C=2B,(1/cosA)+（1/cosC)=-(根号2/cosB) 求cos(A-C)/2的值 已知三角形ABC的三个内角A,B,C,求当A满足何值时cosA+2cos(B+C)/2取得最大值,并求出这个最大值. 已知三角形abc中,cosa *cosb *cos c 已知A为三角形ABC一个内角,满足sinA+cosA=2／3则这个三角形是? 已知三角形ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,1/cosA+1/cosC=负的根号2/cosB,求cos(A-C/2), 已知三角形ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,1/cosA+1/cosC=负的根号2/cosB,求cos(A-C/2), 已知三角形ABC的三个内角A,B,C满足:A+C=2B,1/cosA+1/cosC=-√2/cosB,求cos(A-C)/2的值. 在三角形ABC中,已知a=3,b=2,cosA=-4/5 求cos C 已知三角形ABC的三个内角,满足A+C=2B,设x=cos（(A-C)/2）,f(x)=cosB(1/cosA+1/cosC）已知三角形ABC的三个内角,满足A+C=2B,设x=cos（(A-C)/2）,f(x)=cosB(1/cosA+1/cosC),求：（1）试求函数f(x)的解析式及其定义域（2 已知三角形ABC的三个内角,满足A+B=2B,设x=cos(A-C)/2,f(x)=cosB(1/cosA+1/cosC)已知三角形ABC的三个内角,满足A+C=2B,设x=cos(A-C)/2,f(x)=cosB(1/cosA+1/cosC),求：（1）试求函数f(x)的解析式及其定义域（2）判断其单 数学三角函数 已知三角形ABC的内角A满足SinA=2/3 则SinA＋CosA= 三角函数求值√表根号,已知三角形ABC满足A+C=2B.且1/cosA+1/cosC=-√2/cosB,求cos(A-C)/2的值.我已经求得B=60°，A+C=120°，1/cosA-1/cos(60°+A)=-2√2.然后怎么办呢 已知A为三角形ABC的内角,且满足sinA+cosA=1/5.求(1).sinA-cosA=?(2).(sinAcosA+sin²A)/(1-tanA)=? 已知三角形ABC 内角为.满足sina+cosa=2/3求这个三角形是什么三角形?锐角,钝角,直角,等腰三角形?哪一个? 已知a为三角形ABC内角,且满足sina+cosa=1/5,则三角形ABC的形状为?