确定事件的概念

确定事件的概念
确定事件的概念

确定事件的概念
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观300年来函数概念的发展,众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个数学的发展.本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究,对函数概念的教学进行一些探索.
1、函数概念的纵向发展
1．1 早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(G．Galileo,意,1564－1642)在《两门新科学》一书中,几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后笛卡尔(Descartes,法,1596－1650)在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义,绝大部分函数是被当作曲线来研究的.
1．2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann,瑞,1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量,贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为,其在函数概念中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子.
18世纪中叶欧拉(L．Euler,瑞,1707－1783)就给出了非常形象的,一直沿用至今的函数符号.欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式.他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数）,还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数）,不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义.
1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1822年傅里叶(Fourier,法,1768－1830)发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新的层次.1823年柯西(Cauchy,法,1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷.
1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个或多个确定的值,那么y叫做x的函数.”狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义.
等到康托尔(Cantor,德,1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维布伦(Veblen,美,1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可以是数,也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）.
1．4 现代函数概念——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数.其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样,就使豪斯道夫的定义很严谨了.1930年新的现代函数定义为,若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元.
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来.因此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继续扩展.
1单项式的次数一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
2一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.
3整式的加减法,实质就是将整式中的同类项合并,如果有括号应先去括号,再合并同类项.
4同底数幂相除,底数不变,指数相减.
二平行线与相交线
余角和补角定律1如果两个角的和是直角,称这两个角互为余角.如果两个角的和是直角,称这两个角互为补角.
三生活中的数据
1有效数字对于一个近似数,从左边起第一个不是零的数起,到精确到的数位止,所有的数字叫这个数的有效数字.
2平行线像这样的,不会相交的两条直线,就是互相平行的两条直线,简称平行线.4四边形两组对边平.
3统计图1条形统计图条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些纸条按一定的顺序排列起来.从条形统计图中很容易看出各种数量的多少.
条形统计图分为单式条形统计图和复式条形统计图,前者只表示1个项目的数据,后者可以同时表示多个项目的数据.
2折线统计图折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来,以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且还能够清楚的表示出数量增减变化的情况.折线统计图分单式或复式
3扇形统计图扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形
的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的面积表示总数,用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数.作用能清楚地反映书各部分数同总数之间的关系.扇形面积与其对应的圆心角的关系是扇形面积越大,圆心角的度数越大.扇形面积越小,圆心角的度数越校扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是圆心角的度数=百分比360度扇形统计图还可以画成圆柱形的.
四三角形
三角形一公有三种,锐角三角形并不是有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如等边三角形也是锐角三角形.直角三角形有一个角为90度的三角形,就是直角三角形.钝角三角形有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.任意一个三角形,最多有三个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角.
一个三角形有三条中线,并且都在三角形的内部,相交于一点.三角形的中线是一条线段.
1单项式的次数一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
2一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.
3整式的加减法,实质就是将整式中的同类项合并,如果有括号应先去括号,再合并同类项.
4同底数幂相除,底数不变,指数相减.
二平行线与相交线
余角和补角定律1如果两个角的和是直角,称这两个角互为余角.如果两个角的和是直角,称这两个角互为补角.
三生活中的数据
1有效数字对于一个近似数,从左边起第一个不是零的数起,到精确到的数位止,所有的数字叫这个数的有效数字.
2平行线像这样的,不会相交的两条直线,就是互相平行的两条直线,简称平行线.4四边形两组对边平.
3统计图1条形统计图条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些纸条按一定的顺序排列起来.从条形统计图中很容易看出各种数量的多少.
条形统计图分为单式条形统计图和复式条形统计图,前者只表示1个项目的数据,后者可以同时表示多个项目的数据.
2折线统计图折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来,以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且还能够清楚的表示出数量增减变化的情况.折线统计图分单式或复式
3扇形统计图扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形
的大小表示各部分数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的面积表示总数,用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数.作用能清楚地反映书各部分数同总数之间的关系.扇形面积与其对应的圆心角的关系是扇形面积越大,圆心角的度数越大.扇形面积越小,圆心角的度数越校扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是圆心角的度数=百分比360度扇形统计图还可以画成圆柱形的.
四三角形
三角形一公有三种,锐角三角形并不是有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如等边三角形也是锐角三角形.直角三角形有一个角为90度的三角形,就是直角三角形.钝角三角形有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.任意一个三角形,最多有三个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角.
第一章 丰富的图形世界
1. 棱柱有直棱柱和斜棱柱.
2. 图形是由点、线、面构成的.
3. 面与面相交得到线,线与线相交得到点.
4. 点动成线,线动成面,面动成体.
5. 在棱柱中,任何相邻两个面的交线都叫做棱,相邻两个侧面的交线叫做侧棱,棱柱的所有侧棱长都相等.棱柱的上、下底面的形状相同,侧面的形状都是长方形.
6. 用一个平面去截一个长方体,截出的面叫做截面.
7. 把从正面看到的图叫做主视图,从左面看到的图叫做左视图,从上面看到的图叫做俯视图.
8. 平面图形是由一些不在同一条直线上的线段一次首尾相连组成的封闭图形.
9. 有一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
第二章 有理数及其运算
1.有理数：整数 正数、0、负数 ；无理数：分数 正数、负数
2. 比0高的数,叫做正数,用符号+（读作:正）来表示.
3. 比0低的数,叫做负数,用符号-（读作:负）来表示.
4. 0既不是正数,也不是负数.
5. 画一条水平直线,在直线上取一点表示0（叫做原点）,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴.
6. 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
7. 如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数.0的相反数是0.
8. 数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.
9. 正数大于0,负数小于0,正数大于负数.
10. 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.
11. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
12. 两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
13. 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加,仍得这个数.
14. 减去一个数,等于加上这个数的相反数.
15. 两数相乘,同号的正,异号得负,绝对值相乘.任何数与0相乘,积仍为0.
16. 乘积为1的两个有理数互为倒数.
17. 两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何非0数都得0.0不能作除数.
18. 除以一个数等于乘以这个数的倒数.
19. 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂,a叫做底数,n叫做指数.
20. 先算乘方,再算乘除,最后算加减；如果有括号,先算括号里的.
第三章 字母表示数
1. 用运算符号连接的数或表示数的字母的式子叫做代数式,单独一个数或一个字母也是代数式.
2. 字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.把同类项合并成一项就叫做合并同类项.
3. 在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变.
4. 括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
第四章 平面图形及其位置关系
1. 线段有两个端点；将线段向一个方向无限延长就形成了射线,射线有一个端点；将线段向两个方向无限延长就形成了直线,直线没有端点.
2. 经过两点有且有一条直线.
3. 两点之间的所有连线中,线段最短.两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离.
4. 角是具有公共端点的两条射线组成的图形,两条射线的公共端点是这个角的顶点.
5. 角也可以看成是由一条射线围着它的端点旋转而成的.
6. 从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
7. 我们通常用“‖”表示平行.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行；两条直线相交,只有一个交点.
8. 我们通常用“⊥”.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
9. 如果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直.
10. 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
第五章 一元一次方程
1. 在一个方程中,只含有一个未知数x（元）,并且未知数的指数是1（次）,这样的方程叫做一元一次方程.
2. 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式,所的结果仍是等式.
3. 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）,所的结果仍是等式.
第六章 生活中的数据
1. 利用圆和扇形来表示总体和部分的关系,即用圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小,这样的统计图叫做扇形统计图.
2. 在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.
3. 扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.
4. 条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.
5. 折线统计图能清楚地反映事物的变化情况.
第七章 可能性
1. 生活中,有些事情我们事先能肯定它一定会发生,这些事情称为必然事件.有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件.必然事件与不可能事件都是确定的.
2. 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定事件.不确定事件发生的可能性是由大小的.