锐角三角形ABC,E、F分别为AB、AC上两点,连接BF、CE相交于ABC内一点P,已知：三角形BPC面积为12,三角形BPE、CPF及四边形AEPF三者面积相等.求：三角形BPE面积.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 09:04:43

锐角三角形ABC,E、F分别为AB、AC上两点,连接BF、CE相交于ABC内一点P,已知：三角形BPC面积为12,三角形BPE、CPF及四边形AEPF三者面积相等.求：三角形BPE面积.
锐角三角形ABC,E、F分别为AB、AC上两点,连接BF、CE相交于ABC内一点P,已知：三角形BPC面积为12,三角形BPE、CPF及四边形AEPF三者面积相等.求：三角形BPE面积.

锐角三角形ABC,E、F分别为AB、AC上两点,连接BF、CE相交于ABC内一点P,已知：三角形BPC面积为12,三角形BPE、CPF及四边形AEPF三者面积相等.求：三角形BPE面积.
我的绝对是对的请仔细的看解法很简单为小学生量身定做
1.观察三角形BEC与三角形BFC他们的面积一样而且他们有共同的底所以E F两个点在同一高度为什么呢因为三角形面积为底乘以高底相同面积相同所以高相同.
2.由上面得出EF平行于BC 可知AF/AC=AE/AB （这个你如果不懂可以去查这是一个定理）
3.连接AP 在三角形APC中两个三角形三角形APF与FPC他们的面积比为 AF比FC 左边同理
在三角形APB中两个三角形三角形APE与EPB他们的面积比为 AE比EB
4.三的结论和二的结论结合就可以得出APE=APF（这一步在小学同学眼里比较难理解是一个比例之间的互相推导多看几次多想想能想通的不像刚才的那个回答那么难）
5.知道了三角形APE=三角形APF了那么就可以知道 AF/FC=AE/EB=1：2 了（这个结论尤其重要）
6.现在来看三角形AEC与三角形BEC 他们的底的比为1:2 高相同所以面积比为1:2 三角形AEC=Saepf+Sfpc 三角形EBC=Sebp+Sbpc 可以得出 Sbpc等于3倍的Sebp
7.结论就是Sbpe=12/3=4
你可能会说这个都是理论的计算的比较少老师会说你的但是你如果看懂我的想法能够讲解出来我相信老师会更高兴的这个题目本来就不是靠大量的计算来说明的需要的是一个考虑的过程学会这种方法比什么计算都有用在自己脑子里的才是自己的我的过程步骤很清晰

全部展开

连接AP并延长交BC与D，连接EF
设S(AEP)=p ； S（BPE）=x ； S（EFP）=q
∵S(BPE)=S(CPF)
∴S(BPE)+S(PBC)=S(CPF)+S(PBC)
即：S(EBC)=S(FBC)
∴EF//BC ==> AE/EB=AF/FC 和 EF/BC=AE/AB
根据燕尾定理可得：
S(PAB)/S(PBC)=AF/FC
S(PAC)/S(PBC)=AE/EB
(p+x)/12 = (x-p+x)/12
即：p=x/2
∴AE:EB=AF:FC=1:2 ==> EF:BC=1:3
又∵ S(PEF) : S(PBC) = (EF/BC)^2 = 1 : 9 和 S(AEF) : S(ABC) = (EF/BC)^2=1 : 9
即：q：12 = 1:9 和（x-q）：（3x+12）= 1 : 9
q=4/3 和 2x - 3q =4
即x=(4+3q)/2 = 4
即：三角形BPE面积=4

收起

答案为6