证明:当b>a>0时,ln(b/a)>2(b-a)/b+a

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 03:36:22

证明:当b>a>0时,ln(b/a)>2(b-a)/b+a
证明:当b>a>0时,ln(b/a)>2(b-a)/b+a

证明:当b>a>0时,ln(b/a)>2(b-a)/b+a
设b=a+c,c>0
则lnb-lna=ln(b/a)=ln(1+c/a)
2(b-a)/(a+b)=2c/(2a+c)
令t=c/a
则lnb-lna=ln(1+t),2(b-a)/(a+b)=2t/(2+t)
令f(t)=ln(1+t)- 2t/(2+t)
f'(t)=1/(1+t) -4t/(t+2)^2=t^2/(t+1)(t+2)^2>0
所以f(t)是增函数
而f(0)=0所以对所有的t>0都有f(t)>0
所以lnb-lna>2(b-a)\(a+b)