作业帮用反证法证明：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.最好有图,且用符号语言叙述
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 04:29:31
用反证法证明：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.最好有图,且用符号语言叙述
用反证法证明：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
最好有图,且用符号语言叙述
用反证法证明：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.最好有图,且用符号语言叙述
假设这个点为A,假设过A点有2条直线与已知平面垂直,则这两条直线和平面有两个交点（即垂足）,分别为B和B'.
连接AB,BB',B'A,构成一个三角形ABB'.
因为B和B'都是垂足,所以角ABB'=90度,同时角AB'B=90度
因为三角形ABB'三个内角和为180度,所以 角BAB'=180度-角ABB'-角AB'B=180-90-90=0度
所以AB和AB'必定重合,所以过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
思路：把线面垂直转换成线线垂直。
假设：过一点有多条直线与已知平面垂直。设其中两条是A和B,这一点为O，这个面为α
（1）O点在面上，在面上取一过点O的直线C,A⊥α，则A垂直于面上的所有直线，即A⊥C。同理可得B⊥C。因为，过一点O，有且只有一条直线与已知直线C垂直，所有假设矛盾。
（2）O点在面外，作过O点垂直于面α的直线A，垂足为O1,再过点O作垂直于面α的直线B，垂...
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思路：把线面垂直转换成线线垂直。
假设：过一点有多条直线与已知平面垂直。设其中两条是A和B,这一点为O，这个面为α
（1）O点在面上，在面上取一过点O的直线C,A⊥α，则A垂直于面上的所有直线，即A⊥C。同理可得B⊥C。因为，过一点O，有且只有一条直线与已知直线C垂直，所有假设矛盾。
（2）O点在面外，作过O点垂直于面α的直线A，垂足为O1,再过点O作垂直于面α的直线B，垂足为O2，由于A和B不是同一条直线，所以O1和O2不在同一位置。作过点O1和O2的直线C，由上可得：A⊥C且B⊥C。因为，过一点O，有且只有一条直线与已知直线C垂直，所有假设矛盾。
总结：假设不成立，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
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