已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)均在抛物线上,且直线PA与PB的倾斜角互补（1）求证：直线AB斜率为定值（2）当直线AB在y轴上的截距为正值时.求S△ABP的最大值

已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)均在抛物线上,且直线PA与PB的倾斜角互补（1）求证：直线AB斜率为定值（2）当直线AB在y轴上的截距为正值时.求S△ABP的最大值
已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)均在抛物线上,且直线PA与PB的倾斜角互补
（1）求证：直线AB斜率为定值
（2）当直线AB在y轴上的截距为正值时.求S△ABP的最大值

已知抛物线c:x^2=-2(y-m),点a、b及p(2,4)均在抛物线上,且直线PA与PB的倾斜角互补（1）求证：直线AB斜率为定值（2）当直线AB在y轴上的截距为正值时.求S△ABP的最大值
【1】证明：①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x ²+h上,∴4=（-1/2）×2 ²+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x ²+6.
②∵点A,B均在该抛物线上,故可设其坐标为A(2a,6-2a ²),B(2b,6-2b ²).(a≠b).
③由题设可知,若直线PA的倾斜角为β,则直线PB的倾斜角为π-β
∴由斜率公式可知,Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ.
∴Kpa+Kpb=0.即两条直线PA与PB的斜率之和为0.
又由斜率公式可得：Kpa=(2-2a ²)/(2a-2)= －(a+1).
Kpb=(2-2b ²)/(2b-2)= －(b+1).
∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0.∴a+b=-2.
④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a ²)-(6-2b ²)]/(2a-2b)=(b ²-a ²)/(a-b)=-(a+b)=2.
∴直线AB的斜率恒为定值2.
①∵直线AB的斜率为2,故可设其“斜截式方程”为：y=2x+t.
又直线AB的纵截距为正,∴t＞0.
联立抛物线方程y=(-1/2)x ²+6与直线方程y=2x+t.,整理可得：
x ²+4x+2(t-6)=0.
∴判别式⊿=16-8(t-6)=8(8-t) ＞0.∴0＜t＜8.
②由“圆锥曲线弦长公式”可知,弦|AB|=√[40(8-t)].
再由“点到直线的距离公式”可知,点P(2,4)到直线AB:y=2x+t的距离d为：
d=t/(√5).
∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2) ×|AB|×d=(1/2) ×√[40(8-t)] ×t/(√5).
=√[2t²(8-t)]= √[2(-t³+8t²)].
③现在来求函数f(t)=-t³+8t²,(0＜t＜8）的最大值.
求导可得f′(t)=-3t ²+16t.=-t(3t-16).
易知,在区间(0,8)上,当0＜t＜16/3时,有f′(t) ＞0.
当16/3＜t＜8时,有f′(t) ＜0.
∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知,
函数f(t)在t=16/3时取得最大值.∴当t=16/3时,⊿PAB的面积最大.
④当t=16/3时,由S=√[2t ²(8-t)]可得：S=(64√3)/9.
即⊿PAB面积的最大值为（64√3）/9.
希望可以明白哦~

点P（2，4),在抛物线上，代入得m=6, x^2=-2y+12 (1)
设A,B两点坐标分别（x1,y1),(x2,y2)
x1^2=-2y1+12 -- (2)
x2^2=-2y2+12 -- (3)
点差法，（2）-（3） 得： (x1-x2)(x1+x2)=-2(y1-y2)
(y1-y2) / (x1-x2)=-(x1+x2)/2...

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点P（2，4),在抛物线上，代入得m=6, x^2=-2y+12 (1)
设A,B两点坐标分别（x1,y1),(x2,y2)
x1^2=-2y1+12 -- (2)
x2^2=-2y2+12 -- (3)
点差法，（2）-（3） 得： (x1-x2)(x1+x2)=-2(y1-y2)
(y1-y2) / (x1-x2)=-(x1+x2)/2
k_AB=-(x1+x2)/2 ---（4）
设PA，PB的斜率为k1,k2,点斜式写两者的方程
y-4=k1(x-2) 与（1）联立，则有
x^2+2k1x-4k-4=0
根据韦达定理
2+x1=-2k1
同理 2+x2=-2k2
相加，得x1+x2+4=-2(k1+k2)
根据题意，PA,PB倾斜角互补，则有k1+k2=0
则 x1+x2=-4, 代入（4）得
k_(AB)=2.
（2）第二问没那么难，注意PO的斜率正好是2，自己研究一下，AB过抛物线顶点时，题设中面积最大。太晚了，我也偷闲一下，不懂再问。

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题目不一样答案是一样的 先看看吧
【1】证明：①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x 2+h上，∴4=（-1/2）×2 2+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x 2+6.
②∵点A,B均在该抛物线上，故可设其坐标为A(2a，6-2a 2),B(2b，6-2b 2). (a≠b).
③由题设可知，若直线PA的倾斜角为β，则直线PB的倾斜角为π-...

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题目不一样答案是一样的 先看看吧
【1】证明：①∵点P(2,4)在抛物线y=(-1/2)x 2+h上，∴4=（-1/2）×2 2+h..
∴h=6.
∴抛物线y=(-1/2)x 2+6.
②∵点A,B均在该抛物线上，故可设其坐标为A(2a，6-2a 2),B(2b，6-2b 2). (a≠b).
③由题设可知，若直线PA的倾斜角为β，则直线PB的倾斜角为π-β
∴由斜率公式可知，Kpa=tanβ.Kpb=tan(π-β)=-tanβ.
∴Kpa+Kpb=0.即两条直线PA与PB的斜率之和为0.
又由斜率公式可得：Kpa=(2-2a 2)/(2a-2)= －(a+1).
Kpb=(2-2b 2)/(2b-2)= －(b+1).
∴[-(a+1)]+[-(b+1)]=0. ∴a+b=-2.
④由斜率公式可得:Kab=[(6-2a 2)-(6-2b 2)]/(2a-2b)=(b 2-a 2)/(a-b)=-(a+b)=2.
∴直线AB的斜率恒为定值2.
【2】①∵直线AB的斜率为2，故可设其“斜截式方程”为：y=2x+t.
又直线AB的纵截距为正，∴t＞0.
联立抛物线方程y=(-1/2)x 2+6与直线方程y=2x+t.，整理可得：
x 2+4x+2(t-6)=0.
∴判别式⊿=16-8(t-6)=8(8-t) ＞0. ∴0＜t＜8.
②由“圆锥曲线弦长公式”可知，弦|AB|=√[40(8-t)].
再由“点到直线的距离公式”可知，点P(2,4)到直线AB:y=2x+t的距离d为：
d=t/(√5).
∴三角形⊿PAB的面积S=(1/2) ×|AB|×d=(1/2) ×√[40(8-t)] ×t/(√5).
=√[2t2(8-t)]= √[2(-t3+8t2)].
③现在来求函数f(t)=-t3+8t2,(0＜t＜8）的最大值。
求导可得f′(t)=-3t 2+16t.=-t(3t-16).
易知，在区间(0,8)上，当0＜t＜16/3时，有f′(t) ＞0.
当16/3＜t＜8时，有f′(t) ＜0.
∴由“函数单调性与其导数正负的关系”可知，
函数f(t)在t=16/3时取得最大值。∴当t=16/3时，⊿PAB的面积最大。
④当t=16/3时，由S=√[2t 2(8-t)]可得：S=(64√3)/9.
即⊿PAB面积的最大值为（64√3）/9.

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