已知函数f(x)=e^(x-m)-ln(2x)当m<=2时,证明f(x)>-ln2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 12:56:07

已知函数f(x)=e^(x-m)-ln(2x)当m<=2时,证明f(x)>-ln2
已知函数f(x)=e^(x-m)-ln(2x)当m<=2时,证明f(x)>-ln2

已知函数f(x)=e^(x-m)-ln(2x)当m<=2时,证明f(x)>-ln2
f(x)=e^(x-m)-ln(2x)>=e^(x-2)-ln(2x),即证e^(x-2)-ln(2x)>-ln2,即e^(x-2)>ln(2x)-ln2=1nx,令g(x)=e^(x-2)-1nx,g'(x)=e^(x-2)-1/x,显然g'(x)递增,设g'(x)=e^(x-2)-1/x=0的根为x1,则g(x)在(0,x1)递减,在(x1,+8)递增,故在x=x1取最小值.e^(x1-2)=1/x1,取对数得x1-2=1n(1/x1),即2-x1=1nx1且易知x1>1,故有1nx1=2-x11nx1,有g(x)>=g(x1)=e^(x1-2)-1nx1>0,故对x>0,都有g(x)>0,即e^(x-2)>1nx=1n2x-1n2,e^(x-2)-1n2x>-1n2,所以当m=e^(x-2)-ln(2x)>-1n2,即f(x)>-1n2.