微积分怎么学?如何反导数?

微积分怎么学?如何反导数?
微积分怎么学?如何反导数?

微积分怎么学?如何反导数?
反导数,即不定积分的求法,是求导数的逆过程
当你学了求导数后,就会求积分了
不定积分的主要求法：
第一换元法：
包括显式代入法和隐式代入法
显式代入法,即令t = ... g(x),dt = ... g(x) dx这种的形式,主要是化简积分式子
隐式代入法,即凑微分法,利用微分的原理进行隐性代入
例如∫ √(1 + x) dx = ∫ √(1 + x) d(1 + x),过程中可看到dx变为d(1 + x)
这是微分法,d(1 + x) = (1)'dx + (x)'dx = 0 + (1)dx = dx
第二换元法：主要是用三角函数代入法以达到消除根号的效果
对于√(a² - x²)、1/√(a² - x²)、√(a² - x²)/x等等,令x = a*sinθ 或 x = a*cosθ
对于√(a² + x²)、1/√(a² + x²)、√(a² + x²)/x等等,令x = a*tanθ 或 x = a*cotθ
对于√(x² - a²)、1/√(x² - a²)、√(x² - a²)/x等等,令x = a*secθ 或 x = a*cscθ
如果被积函数中有复杂的三角函数,如sinθ/(sin²θ + cos³θ),可考虑用万能代换u = tan(x/2)
但要注意第三个代入法,即令x = a*secθ 或 x = a*cscθ,他们的反函数都是断续的,需分区间讨论
分部积分法：这是透过导数的乘法法则而来的
即∫ vdu = uv - ∫ udv的形式,目地是能对复杂部分的被积函数求导以进行化简
通常第一步是凑微分,例如∫ xcosx dx = ∫ x dsinx = xsinx - ∫ sinx dx
但有些则直接用,例如∫ lnx dx = xlnx - ∫ x d(lnx) = xlnx - ∫ dx
根据规则反对幂指三来做,即
反三角函数：arcsin(x),arctan√[x - √(1 - x²)],arcsec(x/2)等
对数函数：lnx,ln[x + √(1 + x²)],log_7(8x)等
幂函数：x³,x^(8a),x^(17)等
指数函数：e^(6x),a^(5x)等
三角函数：sinx,tan(8x),sec(7x)
反三角函数最复杂,所以做v,而三角函数最简单,所以做u
有些积分会出现循环现象,只需移位即可,例如
∫ e^x*cosx dx = ∫ e^x dsinx = e^x*sinx - ∫ sinx de^x = e^x*sinx - ∫ e^x*sinx dx
= e^x*sinx - ∫ e^x d(-cosx) = e^x*sinx + e^x*cosx - ∫ cosx de^x
= e^x*sinx + e^x*cosx - ∫ e^x*cosx dx,可见∫ e^x*cosx dx与原先的积分重复了,所以移到等号左边
2∫ e^x*cosx dx = (sinx + cosx)*e^x,移到左边相加,然后两边都除以常数,使左边变回原式样子
∫ e^x*cosx dx = (1/2)(sinx + cosx)*e^x + C,C为任意常数
有理积分法：即利用部分分式和待定系数法原理,将一个大分式拆解为数个小分式进行化简
例如求∫ dx/[(x + 1)(x² + 1)],这样的形式很难求,于是采用有理积分法
设1/[(x + 1)(x² + 1)] = A/(x + 1) + (Bx + C)/(x² + 1),分子比分母少一次指数
右边通分得1/[(x + 1)(x² + 1)] = [A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)]/[(x + 1)(x² + 1)]
分母相同,只看分子：1 ≡ A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1),这是个恒等式,无论x代入什么数字,两边都相等
解法一：代入x = -1,1 = A(2) + 0,得出A = 1/2
代入x = 0,1 = A + C = 1/2 + C,得出C = 1/2
代入x = 1,1 = (1/2)(2) + (B + 1/2)(2) = 1 + 2B + 1,得出B = -1/2
即1/[(x + 1)(x² + 1)] = 1/[2(x + 1)] + (- x + 1)/[2(x² + 1)]
所以∫ dx/[(x + 1)(x² + 1)] = (1/2)∫ dx/(x + 1) + (1/2)∫ (- x + 1)/(x² + 1) dx
解法二：1 ≡ A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1),拆开括号
1 = Ax² + A + Bx² + Cx + Bx + C,再将同类项组起
0x² + 0x + 1 = (A + B)x² + (B + C)x + (A + C),再比较两边的系数,得
A + B = 0
B + C = 0
A + C = 1
解方程,得：A = 1/2,B = -1/2,C = 1/2
所以1/[(x + 1)(x² + 1)] = 1/[2(x + 1)] + (- x + 1)/[2(x² + 1)]
要用的公式其实还有许多,有数百条,但上面的方法已经足够解一般的题目了.
求完不定积分,记住别忘了常数C,这个代表任意常数,要在题目给定足够的条件才能求得
例如给了一个坐标,再代入结果,就找到常数C的值了.