作业帮利用矩阵的对角化,求下列矩阵的n次幂A=1 4 2 0 -3 4 0 4 3 请写一下过程,在此拜谢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 09:27:15
利用矩阵的对角化,求下列矩阵的n次幂A=1 4 2 0 -3 4 0 4 3 请写一下过程,在此拜谢
利用矩阵的对角化,求下列矩阵的n次幂
A=1 4 2
0 -3 4
0 4 3 请写一下过程,在此拜谢
利用矩阵的对角化,求下列矩阵的n次幂A=1 4 2 0 -3 4 0 4 3 请写一下过程,在此拜谢
如图示
解: |A-λE| =
1-λ 4 2
0 -3-λ 4
0 4 3-λ
= (1-λ)[(-3-λ)(3-λ)-16]
= (1-λ)[λ^2-25]
= (1-λ)(λ-5)(λ+5)
所以 A的特征值为 1,5,-5
A-E 用初等行变换化为
0 1 ...
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解: |A-λE| =
1-λ 4 2
0 -3-λ 4
0 4 3-λ
= (1-λ)[(-3-λ)(3-λ)-16]
= (1-λ)[λ^2-25]
= (1-λ)(λ-5)(λ+5)
所以 A的特征值为 1,5,-5
A-E 用初等行变换化为
0 1 0
0 0 1
0 0 0
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T.
所以 A 的属于特征值1的全部特征向量为 k1(1,0,0)^T, k1为任意非零常数.
A-5E 用初等行变换化为
1 0 -1
0 1 -1/2
0 0 0
(A-5E)x=0 的基础解系为 a2=(1,1/2,1)^T.
所以 A 的属于特征值5的全部特征向量为 k2(1,1/2,1)^T, k2为任意非零常数.
A+5E 用初等行变换化为
1 0 -1
0 1 2
0 0 0
(A+5E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-2,1)^T.
所以 A 的属于特征值-5的全部特征向量为 k3(1,-2,1)^T, k3为任意非零常数.
令P=(a1,a2,a3)=
1 1 1
0 1/2 -2
0 1 1
则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,5,-5)
所以 A=Pdiag(1,5,-5)P^-1.
故有 A^k = Pdiag(1,5,-5)^kP^-1 = Pdiag(1,5^k,(-5)^k)P^-1 = (1/5)*
5 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k-5
0 4*(-5)^k + 5^k 2*5^k-2*(-5)^k
0 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k
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