二阶等差数列求和： a1=1 a2=3 a3=6 a4=10 ...求an=?sn=?Sn是重点~~!过程。。。

二阶等差数列求和： a1=1 a2=3 a3=6 a4=10 ...求an=?sn=?Sn是重点~~!过程。。。
二阶等差数列求和： a1=1 a2=3 a3=6 a4=10 ...求an=?sn=?
Sn是重点~~!
过程。。。

二阶等差数列求和： a1=1 a2=3 a3=6 a4=10 ...求an=?sn=?Sn是重点~~!过程。。。
an = (1+n)*n/2
sn = 1/2 (n*(n+1)*(2n+1)/6 + (1+n)*n/2)

an=a1+a2+a3+a4+……a(n-1)
sn是和的话就是sn=2an

an=1+2+...+n=n(n+1)/2=(n^2+n)/2
所以Sn=a1+a2+...+an
=(1^2+1)/2+(2^2+2)/2+...+(n^2+n)/2
=[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)]/2
=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2
=n(n+1)(n+2)/6
注：公式：1^2+2^2...

全部展开

an=1+2+...+n=n(n+1)/2=(n^2+n)/2
所以Sn=a1+a2+...+an
=(1^2+1)/2+(2^2+2)/2+...+(n^2+n)/2
=[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)]/2
=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2
=n(n+1)(n+2)/6
注：公式：1^2+2^2+3^2+....+n^2=n（n+1）(2n+1)/6
证明：
给个算术的差量法求
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6

收起

an=n+(n-1)+...+1
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6

a1 = 1
a2 - a1 = 2*2 -1
a3 - a2 = 2*3 -1
a4 - a3 = 2*4 -1
……
an - a(n-1) = 2*n - 1
以上等式相加后，得到通项公式
an = 1 + 2(2+3+4+……+n) - 1-1-1- …… -1
=2(1+2+3+……+n) - n
=n(n+1) -...

全部展开

a1 = 1
a2 - a1 = 2*2 -1
a3 - a2 = 2*3 -1
a4 - a3 = 2*4 -1
……
an - a(n-1) = 2*n - 1
以上等式相加后，得到通项公式
an = 1 + 2(2+3+4+……+n) - 1-1-1- …… -1
=2(1+2+3+……+n) - n
=n(n+1) - n
=n^2
------------------
附录：检验这个通相公式
a2 - a1 = 4 - 1 = 2*2 - 1
a3 - a2 = 9 - 4 = 2*3 - 1
a4 - a3 = 16 -9 = 2*4 - 1
成立
----------------------
下面求 Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2
关于这个求和 请参考我以前的一个回答，那里同时给出了 立方 的求和。
(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1
利用上面这个式子有：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
5^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 + 1
……
(n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1
把上述各等式左右分别相加 得到：
(n+1)^3 - 1^3 = 3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2) + 3*(1+2+3+……+n) + n*1
n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1 = 3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2) + 3*n(n+1)/2 + n
继续整理（属于纯粹的数学运算了），最后
1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Sn = n(n+1)(2n+1)/6

收起