江苏省第二十一届初中数学竞赛中的一题k,a,b为正整数,k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.(1) 若a,b互质,证明(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质；(2) 当a,b互质时,求k的值；(3) 若a,b的最大公约数为5,求k的值

江苏省第二十一届初中数学竞赛中的一题k,a,b为正整数,k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.(1) 若a,b互质,证明(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质；(2) 当a,b互质时,求k的值；(3) 若a,b的最大公约数为5,求k的值
江苏省第二十一届初中数学竞赛中的一题
k,a,b为正整数,k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.
(1) 若a,b互质,证明(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质；
(2) 当a,b互质时,求k的值；
(3) 若a,b的最大公约数为5,求k的值.
一、二、三楼的同志，但别给错的答案！
[（2）k=176400 (3)k=4410000 ]我知道正确的结果，但不知是如何来的！

江苏省第二十一届初中数学竞赛中的一题k,a,b为正整数,k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.(1) 若a,b互质,证明(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质；(2) 当a,b互质时,求k的值；(3) 若a,b的最大公约数为5,求k的值
解 (1)若a^2与a^2-b^2不互质,设a^2=tv,a^2-b^2=tu,
两式相减得:b^2=t(v-u)
则易知a,b均有约数t,与题意矛盾
故命题得证
(2)由“k被a^2,b^2整除所得的商分别为m,m+116.”
知:k/(a^2)=m ① k/(b^2)=m+116 ② k,a,b为整数,
a>b.
则k=(a^2)m=(b^2)(m+116)
变形:(a^2-b^2)m=116b^2,由(1)中结论(a^2-b^2)与a^2和b^2都互质,则a^2-b^2必是116的约数.
又a^2-b^2=(a-b)(a+b),a+b,a-b同奇同偶,又116=4*29
则有(a-b)(a+b)=2*58
或(a-b)(a+b)=1*29
或(a-b)(a+b)=2*2
又a,b互质,分别检验得a=15,b=14符合题意.
①-②即得k=116(ab)^2/(a^2-b^2),将a,b代入得:
k=176400
(3)由题意可设a=5p,b=5q,(p,q互质),仿照(1)中的方法,易证(p^2-q^2)与p^2和q^2都互质.将a=5p,b=5q代入①②得:
k= 25(p^2)m=25(q^2)(m+116)
变形:(p^2-q^2)m=116q^2,多么熟悉!同(2)理亦得:
p=15,q=14,则a=75,b=70
代入k=116(ab)^2/(a^2-b^2)得:
k=4410000,
恰恰与你的答案相同,

休斯敦的打铁匠已经说完了

休斯敦的打铁匠，你太厉害了

2>:
k=a^2*m=b^2*(m+116)
(a^2-b^2)*m=116*b^2
因为a^2-b^2与b^2互质
所以m=b^2*x
116=(a^2-b^2)*x
解得x=4
m=784
a=15 b=14 k=176400

(1)反证法
假设(a^2-b^2)与a^2不互质，即有公约数C
设(a^2-b^2)=XC
a^2=YC
则b^2=YC-XC
则b^2也有公约数C
推出b也有公约数C
则ab有共同公约数C 与a,b互质的条件矛盾
假设不成立
（2）(a^2-b^2)=-116K
因为(a^2-b^2)与a^2互质，即mk与-116...

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(1)反证法
假设(a^2-b^2)与a^2不互质，即有公约数C
设(a^2-b^2)=XC
a^2=YC
则b^2=YC-XC
则b^2也有公约数C
推出b也有公约数C
则ab有共同公约数C 与a,b互质的条件矛盾
假设不成立
（2）(a^2-b^2)=-116K
因为(a^2-b^2)与a^2互质，即mk与-116k互质
所以k=1
（3）设a=5x b=5y
则a^2,b^2分别为25x^2,25y^2
25x^2=km
25y^2=km+116k
所以25(x^2-y^2)=-116k
显然
k=25
我可以负责任的告诉你，你应该检查下题打错没
也许我结果错了，因为我是自己做的，但过程应该也可以给你点启迪
这种题我很难说我不会，确实是不难的
你这样的语气让人很失望，我怎么会故意给你错的答案！
还让别人怎样帮你？

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