作业帮求从1到100的自然数的平方和,求出它的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 10:02:34
求从1到100的自然数的平方和,求出它的通项公式
求从1到100的自然数的平方和,求出它的通项公式
求从1到100的自然数的平方和,求出它的通项公式
方法（1）
1^2+2^2+3^2+4^2+.100^2=1+4+9+16+25+36+49+64+81+100+121+144+169+196+225+256+289+324+361+400+441+484+529+576+625+676+729+784+841+900+961+1024+1089+1156+1225+1296+1369+1444+1521+1600+1681+1764+1849+1936+2025+2116+2209+2304+2401+2500+2601+2704+2809+2916+3025+3136+3249+3364+3481+3600+3721+3844+3969+4096+4225+4356+4489+4624+4761+4900+5041+5184+5329+5476+5625+5776+5929+6084+6241+6400+6561+6724+6889+7056+7225+7396+7569+7744+7921+8100+8281+8464+8649+8836+9025+9216+9409+9604+9801+10000=338350
方法2
1^2+2^2+3^2+4^2+.100^2=100×101×201÷6 =2030100÷6=338350
通项公式：
1^2+2^2+3^2+4^2+.n^2=n(n+1)(2n+1)/6 （ 其中n 为最大数,在本题中为100）
方法（3）
心算或简便计算：
1-10 的平方和 为385 （1个3、 1个8、 1个5、 0个0）
1-100 的平方和 为338350 （前面2个3、 1个8、中间1个3、 1个5、 尾巴1个0）
1-1000 的平方和 为333833500 （前面3个3、 1个8、中间2个3、 1个5、 尾巴2个0）
1-10000 的平方和 为333383335000 （前面4个3、 1个8、中间3个3、 1个5、 尾巴3个0）
1-100000 的平方和 为333338333350000 （前面5个3、 1个8、中间4个3、 1个5、 尾巴4个0）
1-1000000 的平方和 为333333833333500000 （前面6个3、 1个8、中间5个3、 1个5、 尾巴5个0）
利用公式 （n-1)3 = n3-3n2+3n-1
设 S3 = 13+23+33+43+...+n3
及 S2 = 12+22+32+42+...+n2
及 S1 = 1 +2 +3 +4+...+n
知：
S3-3S2+3S1-n = (1-1)3+ (2-1)3+(3-1)3+ (4-1)3 + ... + (n-1)3 = S3 -n3
...
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利用公式 （n-1)3 = n3-3n2+3n-1
设 S3 = 13+23+33+43+...+n3
及 S2 = 12+22+32+42+...+n2
及 S1 = 1 +2 +3 +4+...+n
知：
S3-3S2+3S1-n = (1-1)3+ (2-1)3+(3-1)3+ (4-1)3 + ... + (n-1)3 = S3 -n3
果然，S3被消去了，但我们可以得到：
3S2 = 3S1+n3-n
把 S1= n(n+1)/2 带入上式， 可得：
S2 = n(n+1)(2n+1)/6
即：
12+22+32+42+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6
可以设想，用同样的方法，可以利用S4而得到S3即13+23+33+43+...+n3的公式，依次类推
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