作业帮证明：x四次方+y四次方+z四次方-2x平方y平方-2x平方z平方-2y平方z平方能被x+y+z整除.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 16:51:41
证明：x四次方+y四次方+z四次方-2x平方y平方-2x平方z平方-2y平方z平方能被x+y+z整除.
证明：x四次方+y四次方+z四次方-2x平方y平方-2x平方z平方-2y平方z平方能被x+y+z整除.
证明：x四次方+y四次方+z四次方-2x平方y平方-2x平方z平方-2y平方z平方能被x+y+z整除.
分解因式：
x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2x^2z^2-2y^2z^2
= x^4+y^4+z^4+2x^2y^2-2x^2z^2-2y^2z^2-4x^2y^2
= (x^2+y^2-z^2)^2-(2xy)^2
= (x^2+y^2-z^2+2xy)(x^2+y^2-z^2-2xy)
= [(x+y)^2-z^2][(x-y)^2-z^2]
= (x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)
可得：
x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2x^2z^2-2y^2z^2 能被 x+y+z 整除.
x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2 - 2y^2z^2
=[z^2 - (x+y)^2][z^2 - (x-y)^2]
=(z + x + y)(z - x - y)(z + x - y)(z - x + y)
其中有x+y+z这个因式，所以可以整除
其实如果你足够强，你可以直接猜到最后一步，不过我没做到，我根据题目要求凑出了倒数...
全部展开
x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2x^2z^2 - 2y^2z^2
=[z^2 - (x+y)^2][z^2 - (x-y)^2]
=(z + x + y)(z - x - y)(z + x - y)(z - x + y)
其中有x+y+z这个因式，所以可以整除
其实如果你足够强，你可以直接猜到最后一步，不过我没做到，我根据题目要求凑出了倒数第二行这个式子。从第一行到第二行，有许多添加项，从而完成了因式分解，但是一开始是很难想到要那样添一项，减一项的，所以我选择了根据要证明的东西凑项。不过因式分解这个东西只要有了答案，过程自然也就有了，所以第一行到第二行中间的过程我就省略了，你自己把[z^2 - (x+y)^2][z^2 - (x-y)^2]这个展开就会得到原式了
额 ，我凑了半天凑不出来，所以上网搜了搜，这不是我原创的。。。。。。。。。
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