已知双曲线x^2/a^2- y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且绝对值PF=4绝对值PF2,则双曲线离心率的最大值是 求详解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 23:17:06
已知双曲线x^2/a^2- y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且绝对值PF=4绝对值PF2,则双曲线离心率的最大值是 求详解
已知双曲线x^2/a^2- y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,
且绝对值PF=4绝对值PF2,则双曲线离心率的最大值是 求详解
已知双曲线x^2/a^2- y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且绝对值PF=4绝对值PF2,则双曲线离心率的最大值是 求详解
方法一:
由双曲线定义,有:|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,∴3|PF2|=2a,
∴|PF2|=(2/3)a,∴|PF1|=(8/3)a.
显然有:|PF1|+|PF2|≧|F1F2|=2c,∴(2/3)a+(8/3)a≧2c,∴c/a≦5/3,
∴e≦5/3.
∴e的最大值=5/3.
方法二:
由双曲线定义,有:|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,∴3|PF2|=2a,
∴|PF2|=(2/3)a,∴|PF1|=(8/3)a.
由余弦定理,有:|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,
∴(2c)^2=[(8/3)a]^2+[(2/3)a]^2-2[(8/3)a][(2/3)a]cos∠F1PF2,
∴(c/a)^2=16/9+1/9-(8/9)cos∠F1PF2,
∴e^2=17/9-(8/9)cos∠F1PF2.
显然,当cos∠F1PF2=-1时,e^2有最大值=17/9+8/9=25/9,∴e的最大值=5/3.
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