作业帮数学证明题不等式(急)a,b属于R,求证,|a+b|/(1+|a+b|)小于等于(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 08:44:56
数学证明题不等式(急)a,b属于R,求证,|a+b|/(1+|a+b|)小于等于(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
数学证明题不等式(急)
a,b属于R,求证,|a+b|/(1+|a+b|)小于等于(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
数学证明题不等式(急)a,b属于R,求证,|a+b|/(1+|a+b|)小于等于(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
|a+b|≤|a|+|b|
1/|a+b|≥1/(|a|+|b|)
1+1/|a+b|≥1+1/(|a|+|b|)
(|a+b|+1)/|a+b|≥[(|a|+|b|)+1]/(|a|+|b|)
取倒数
|a+b|/(1+|a+b|)≤(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
f(x)=x/(1+x)=1-1/(x+1)(x>-1)↑，
|a+b|<=|a|+|b|,
∴，|a+b|/(1+|a+b|)<=(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|).
分情况讨论，a>0,b>0: a>0,b<0: a<0b<0: a<0b>0
因为：a,b属于实数
所以：|a+b|《=|a|+|b|
所以可得：|a+b|/(1+|a+b|)《=(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
|a+b|/(1+|a+b|)=1-1/(1+|a+b|)
因为1+|a+b|≤1+|a|+|b|
所以1/(1+|a+b|)≥1/(1+|a|+|b|)
所以|a+b|/(1+|a+b|)=1-1/(1+|a+b|)≤1-1/(1+|a|+|b|)=(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
先证函数Y=x/1+x在x大于等于0时递增。
再|a+b|恒小于等于|a|+|b|。可证。
因为a,b属于R
所以0≤|a+b|≤|a|+|b|
所以
(1+|a+b|)/|a+b|
=1+1/|a+b|
≥1+1/(|a|+|b|)=(1+|a|+|b|)/(|a|+|b|)
所以|a+b|/(1+|a+b|)小于等于(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
不会，做任务路过。
二楼正解！