已知半径为2的圆的圆心在坐标原点,两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M(1,根号2),求ABCD的面积的最大最小值!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 15:44:26
已知半径为2的圆的圆心在坐标原点,两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M(1,根号2),求ABCD的面积的最大最小值!
已知半径为2的圆的圆心在坐标原点,两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M(1,根号2),求ABCD的面积的最大最小值!
已知半径为2的圆的圆心在坐标原点,两条互相垂直的弦AC和BD相交于点M(1,根号2),求ABCD的面积的最大最小值!
因为,四边形ABCD的两对角线垂直.面积为S
因此,S(ABCD)=1/2(AC*BD)
现在 M(X,Y)=M(1,√2)
AC=2√(R²-Y²)=2√(4-2)=2√2
BD=2√(R²-X²)=2√(4-1)=2√3
所以
S(ABCD)=1/2(AC*BD)=1/2(2√2*2√3)=2√6
∵M的坐标为﹙1,√2﹚,
∴OM²=1²+﹙√2﹚²=3,
设对角线垂直四边形ABCD的面积为S
①当AC=BD时,则O到AC、BD的距离相等,
设这个距离为d,则d²+d²=OM²=3,
即﹙1/2AC﹚²=2²-3/2=5/2,
∴S=1/2AC·BD=1/2·A...
全部展开
∵M的坐标为﹙1,√2﹚,
∴OM²=1²+﹙√2﹚²=3,
设对角线垂直四边形ABCD的面积为S
①当AC=BD时,则O到AC、BD的距离相等,
设这个距离为d,则d²+d²=OM²=3,
即﹙1/2AC﹚²=2²-3/2=5/2,
∴S=1/2AC·BD=1/2·AC²=5;
②若其中一条弦经过OM时,
此弦即为直径,其长为4;另一弦长为2,
∴S=1/2×2×4=4。
∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差是5-4=1。
收起
【注:(1)易知,对角线互相垂直的四边形,其面积等于两对角线积的一半。即S(abcd)=|AC|*|BD|/2.(2)设原点O到直线AC的距离为d1,原点O到直线BD的距离为d2.易知,d1²+d2²=|0M|²=3.===>d1²+d2²=3.===>0≤d1²≤3.(3)由垂径定理及勾股定理可知,|AC|=2√(4-d1²)...
全部展开
【注:(1)易知,对角线互相垂直的四边形,其面积等于两对角线积的一半。即S(abcd)=|AC|*|BD|/2.(2)设原点O到直线AC的距离为d1,原点O到直线BD的距离为d2.易知,d1²+d2²=|0M|²=3.===>d1²+d2²=3.===>0≤d1²≤3.(3)由垂径定理及勾股定理可知,|AC|=2√(4-d1²).|BD|=2√(4-d2²).===>S(abcd)=2√[(4-d1²)(4-d2²)]=2√[(4-d1²)(d1²+1)]=2√{-[d1²-(3/2)]²+(25/4)}(0≤d1²≤3).===>Smax=5,Smin=4.
收起