已知:如图,△ABC内接于圆O,直径CD⊥AB,垂足为E,弦BF交CD于点M,交AC于点N,且BF=AC,连结AD,AM.求证:BM²=MN×MF p..图是自己画的.尽快解答明天中午之前要的谢谢!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/06 02:17:08
已知:如图,△ABC内接于圆O,直径CD⊥AB,垂足为E,弦BF交CD于点M,交AC于点N,且BF=AC,连结AD,AM.求证:BM²=MN×MF p..图是自己画的.尽快解答明天中午之前要的谢谢!
已知:如图,△ABC内接于圆O,直径CD⊥AB,垂足为E,弦BF交CD于点M,交AC于点N,且BF=AC,连结AD,AM.
求证:BM²=MN×MF p..图是自己画的.尽快解答明天中午之前要的谢谢!
已知:如图,△ABC内接于圆O,直径CD⊥AB,垂足为E,弦BF交CD于点M,交AC于点N,且BF=AC,连结AD,AM.求证:BM²=MN×MF p..图是自己画的.尽快解答明天中午之前要的谢谢!
证明:
连接AF,
∵BF=AC,
∴弧AB+弧AF=弧AF+弧CF.
∴弧AB=弧CF.
∴∠F=∠FBC.
又∵∠CAM=∠CBM,
∴∠F=∠MAN.
∵∠AMF=∠NMA,
∴△AMF∽△NMA.
∴AM/NM=MF/MA.
∴AM²=MN•MF.
又∴BM=AM.
∴BM²=MN•MF.
如图:
因为△ABC内接于圆O,直径CD⊥AB,垂足为E,BF=AC
所以 CD垂直平分AB,则AC=AB=BF
所以 角BAC=角ABC=角BCF(等弦对等角),AM=BM(垂直平分线性质),角BAM=角ABM
所以 角CBF=角ABC-角ABF=角BCF-角ACF=角ACB
所以 角MAF=角BAF-角BAM=角BAC+角CAF-角ABM=角ABC-角ABM+角...
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因为△ABC内接于圆O,直径CD⊥AB,垂足为E,BF=AC
所以 CD垂直平分AB,则AC=AB=BF
所以 角BAC=角ABC=角BCF(等弦对等角),AM=BM(垂直平分线性质),角BAM=角ABM
所以 角CBF=角ABC-角ABF=角BCF-角ACF=角ACB
所以 角MAF=角BAF-角BAM=角BAC+角CAF-角ABM=角ABC-角ABM+角CAF=角CBF+角CAF
=2角CBF=角CBF+角ACB=角MNA
又 角AMF=角NMA(同一角)
所以 △AMF∽△NMA
所以 AM/NM=MF/MA 即 AM2=MN×MF
所以 BM2=AM2=MN×MF
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