求函数y=(4sinx+1)/(2cosx-4)(x属于R)的值域要过程

求函数y=(4sinx+1)/(2cosx-4)(x属于R)的值域要过程
求函数y=(4sinx+1)/(2cosx-4)(x属于R)的值域
要过程

求函数y=(4sinx+1)/(2cosx-4)(x属于R)的值域要过程
依题,点（2cosx,4sinx)都在轨迹方程为：
x^2/4+y^2/16=1 的椭圆上.（注：消元化参数式为标准方程.根据：sinx^2+cosx^2=1)
而所求值域就是椭圆上的点和点（4,-1）连线的斜率.
根据图像,很容易知道,两个相切地点就是值域极值点所在.
设切线方程为：y+1=k(x-4)
与椭圆联立,然后判别式为0.
即为：4x^2+[k(x-4)-1]^2=16.
(4+k^2)x^2-(8k^2+2k)x+16k^2+8k-15=0.
=>[-(8k^2+2k)]^2-4*(4+k^2)(16k^2+8k-15)=0.
=>12k^2+8k-15=0.
=>(2k+3)(6k-5)=0
=>k=-3/2或k=5/6.
=>取值范围为[-3/2,5/6].
*****
遇到这类题目,通常采用的是数行结合的方法来解答.
wzzju的方法虽然正确,但椭圆的方程却错了,那么结论自然也就错了.

依题，点（4sinx,2cosx)都在轨迹方程为：
x^2/16+y^2/4=1 的椭圆上。 （注：消元化参数式为标准方程，学过吧～根据：sinx^2+cosx^2=1)
而所求值域就是椭圆上的点和点（4，-1）连线的斜率。
（小方法）
根据图像，很容易知道，两个相切地点就是值域极值点所在。
解出这两条的斜率，看图可知一条不存在。
哦，那个极值点是...

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依题，点（4sinx,2cosx)都在轨迹方程为：
x^2/16+y^2/4=1 的椭圆上。 （注：消元化参数式为标准方程，学过吧～根据：sinx^2+cosx^2=1)
而所求值域就是椭圆上的点和点（4，-1）连线的斜率。
（小方法）
根据图像，很容易知道，两个相切地点就是值域极值点所在。
解出这两条的斜率，看图可知一条不存在。
哦，那个极值点是这样求得：
设切线方程为：y+1=k(x-4)
与椭圆联立，然后判别式为0.
最后的答案应该就清楚了吧，这点计算还是要你自己，不然你还是别学圆锥曲线好了～这对计算要求很高的！

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2ycosx-4y=4sinx+1
2ycosx-4sinx=4y+1
√ 〔（2y）^2+4^2〕sin(θ-x)=4y+1
sin(θ-x)=(4y+1)/〔（2y）^2+4^2〕
丨(4y+1)/√ [（2y）^2+4^2〕丨≤1

[-3/2,5,6]

x属于R
y=(4sinx+1)/(2cosx-4)
5≥4sinx+1≥-3,sinx=-1/4,4sinx+1=0
2cosx-4<0
设0≤a<π/2,tana=sina/cosa=2y/4=y/2
sina/cosa=y/2
y*cosa=2sina
(y*cosa)^2=(2sina)^2
(y^2)*cos^2a=4*(1...

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x属于R
y=(4sinx+1)/(2cosx-4)
5≥4sinx+1≥-3,sinx=-1/4,4sinx+1=0
2cosx-4<0
设0≤a<π/2,tana=sina/cosa=2y/4=y/2
sina/cosa=y/2
y*cosa=2sina
(y*cosa)^2=(2sina)^2
(y^2)*cos^2a=4*(1-cos^2a)=4-4cos^2a
(4+y^2)*cos^2a=4
cosa=2/√(4+y^2)
1/cosa=√(4+y^2)/2
2ycosx-4sinx
=4*[cosx*(2y/4)-sinx]
=4*[cox*(sina/cosa)-sinx]
=4*(sina*cosx-cosa*sinx)/cosa
=4*(sina*cosx-cosa*sinx)*√(4+y^2)/2
=2*[√(4+y^2)]*sin(a-x)
注意:这一过程是有公式的,请请记住
y=(4sinx+1)/(2cosx-4)(x属于R)
2ycosx-4sinx=1+4y
2*[√(4+y^2)]*sin(a-x)=1+4y
sin(a-x)=(1+4y)/[2√(4+y^2)]
-1≤sin(a-x)≤1
-1≤(1+4y)/[2√(4+y^2)]≤1
-3/2≤y≤5/6

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y=(4sinx+1)/(2cosx-4)
=[8sin(x/2)cos(x/2)+sin^2(x/2)+cos^2(x/2)]/[2cos^2(x/2)-2sin^2(x/2)-4sin^2(x/2)-4cos^2(x/2)]
当cos(x/2)=0时,y=-1/6
当cos(x/2)不等于0时,
y=[8tan(x/2)+tan^2(x/2)+1]/[-6tan...

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y=(4sinx+1)/(2cosx-4)
=[8sin(x/2)cos(x/2)+sin^2(x/2)+cos^2(x/2)]/[2cos^2(x/2)-2sin^2(x/2)-4sin^2(x/2)-4cos^2(x/2)]
当cos(x/2)=0时,y=-1/6
当cos(x/2)不等于0时,
y=[8tan(x/2)+tan^2(x/2)+1]/[-6tan^2(x/2)-2]
令tan(x/2)=t
y=(t^2+8t+1)/(-6t^2-6+4)
当t=0时,y=-1/2
当t不等于0时,
y=[t+(1/t)+8]/[-6(t+(1/t))+4]
令t+(1/t)=m，m的范围是（负无穷，-2][2,正无穷）
y=(m+8)/(-6m+4)
=-1/6-[(8+2/3)/(-6m+4)]
m=-2,y=3/8
m=2,y=-5/4
故值域（-5/4，3/8]
懒得检验，道理是对的，结果不重要

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