什么是概率函数

什么是概率函数
什么是概率函数

什么是概率函数
波函数：wave function
波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数.
为了定量地描述微观粒子的状态,量子力学中引入了波函数,并用ψ表示.一般来讲,波函数是空间和时间的函数,并且是复函数,即ψ=ψ(x,y,z,t).将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广,玻恩假定 就是粒子的概率密度,即在时刻t,在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率.波函数ψ因此就称为概率幅.
电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大,即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零,没有电子到达,显示“暗条纹”.
由此可见,在电子双缝干涉实验中观察到的,是大量事件所显示出来的一种概率分布,这正是玻恩对波函数物理意义的解释,即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)：
即是说,微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义.
据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动.这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解,然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度,是构成量子力学理论的最基本的概念.
概率幅满足于迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2（1.26） 相应的概率分布为（1.27）
波函数坍缩
波函数从叠加态坍缩成A或A非至少从某种意义上符合最大熵(最大信息量)原理.
当我们要测量粒子的动量的时候,粒子不一定刚好处于动量的本征态,这个态可以表示为动量本征态的叠加(动量本征态组成一组完备的希尔伯特空间的基矢),当我们用仪器对粒子进行测量的时候,相当于是对粒子进行了一个作用,即用动量算符作用在这个态上,只进行一次测量的时候,我们只能得到一个动量值(动量本征值),而这个时候的态,只有处于动量的相对应的本征态上时才会这样,这就是说,当进行测量的时候,因为我们的仪器对粒子的影响,使得粒子由原来的态坍缩到了这个动量本征态.但是我们测量的时候,也可能得到其他的本征值,即,也可能坍缩到其他的动量本征态,所以,要进行多次测量.
假设量子基态为 A,A非,又假设叠加态为
B = c1A + c2A非 (1)
从性质上来看,我们总可以认为 B有一部分属于A,另一部分属于A非,于是有,归一化的叠加态为
Bn= rA + (1-r)A非 (2)
0<=r<=1
现在来考虑Bn 所包含的相对信息量,显然相对信息量以A或A非为参照物是合适的,比如考虑“又死又活”的薛定鄂猫相对于“死”或“活”包含多少信息是合适的.
于是我们形成了两种泛有序对
(A,Bn) (3-1)
(A非,Bn) (3-2)
我们要问：(3-1)和(3-2)取什么形式所包含的信息量最大呢?
现在考虑(3-1)的泛有序对所对应的广义集合
A + Bn = (1+r)A + (1-r)A非 (4)
这个广义集合所对应的信息熵为
H= -(1+r)/2log2 ((1+r)/2) - (1-r)/2log2 ((1-r)/2) (5)
显然当 (1+r)/2 = (1-r)/2,或 r=0时,信息熵H取最大值Hmax
Hmax=1(比特) (6)
此时 (A,Bn) = (A,A非) (7)
再考虑(3-2)的泛有序对所对应的广义集合
A非+Bn = rA+ (2-r)A非 (8)
这个广义集合所对应的信息熵为
H= -r/2log2 (r/2) - (2-r)/2log2 ((2-r)/2) (9)
显然当 r/2 = (2-r)/2 ,或 r=1时,信息熵H取最大值Hmax
Hmax = 1(比特) (10)
此时 (A非,Bn) = (A非,A) (11)
于是我们得出结论：波函数从叠加态坍缩成A或A非至少从某种意义上符合最大熵(最大信息量)原理

设X是随机变量，如果存在一个非负函数f(x),
使得对任意实数a,b(aP（a＜X≤b) = ∫f(x)dx, （积分下限是a,上限是b)
f(x)叫X的概率密度函数
这里指的是一维连续随机变量，其他类似

定义：设X为离散型随机变量，其全部可能值为{a1,a2,…}。则
pi=P(X=ai)(i=1,2,…)
称为X的概率函数。