已知p为△ABC内任意一点.求证:1/2(AB+BC+CA)<PA+PB+PC<AB+BC.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 06:10:59
已知p为△ABC内任意一点.求证:1/2(AB+BC+CA)<PA+PB+PC<AB+BC.
已知p为△ABC内任意一点.求证:1/2(AB+BC+CA)<PA+PB+PC<AB+BC.
已知p为△ABC内任意一点.求证:1/2(AB+BC+CA)<PA+PB+PC<AB+BC.
利用‘三角形的两边之和大于第三边’可得:
PA+PB>AB
PB+PC>BC
PC+PA>CA
将三式相加,得
2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA
PB+PB+PC>(AB+BC+CA)/2
延长BP于AC交于Q
AB+AQ>BQ=PB+PQ
QC+PQ>PC
二式相加得:
AB+(AQ+QC)+PQ>PB+PC+PQ
即:AB+AC>PB+PC
全部展开 收起 根据三角形两边之和大于第三边的原则:PA+PB>AB,PC+PB>BC,PA+PC>AC,由三式相加得到1/2(AB+BC+CA)<PA+PB+PC! 你先画一个图,将AP,BP,CP连上。 ∵PA+PB>AB
(AB+BC+AC).1 2
(AB+BC+AC).1 2
同理:BP+PC>BC,AP+PC>AC.
以上三式分别相加得到:
2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,
即PA+PB+PC>
(AB+BC+AC).1 2
然后将1/2(AB+BC+CA)<PA+PB+PC同时乘2得AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)
因为三角形的两边之和大于第三边所以AP+PC>AC,AP+BP>AB,BP+PC>BC
将这三个式子相加得AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)
PB+PC>BC
PC+PA>CA
∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA
PB+PB+PC>(AB+BC+CA)/2
延长BP于AC交于Q
AB+AQ>BQ=PB+PQ
QC+PQ>PC
二式B+PC+PQ
即:AB+AC>PB+PC