作业帮求函数f(x)=x的n次方(n∈N+)在x=a处的导数.我想知道简化出来的为什么是na的(n-1)次方呢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 11:59:21
求函数f(x)=x的n次方(n∈N+)在x=a处的导数.我想知道简化出来的为什么是na的(n-1)次方呢
求函数f(x)=x的n次方(n∈N+)在x=a处的导数.
我想知道简化出来的为什么是na的(n-1)次方呢
求函数f(x)=x的n次方(n∈N+)在x=a处的导数.我想知道简化出来的为什么是na的(n-1)次方呢
f(x)的导函数为:
f'(x)=lim(x→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim(x→0)[C(n,0)x^n+C(n,1)x^(n-1)Δx+•••
+C(n,r)x^(n-r)Δx^r+•••+C(n,n)Δx^n-x^n]/Δx
=lim(x→0)C(n,1)x^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)Δx+•••
+C(n,r)x^(n-r)Δx^(r-1)+•••+C(n,n)Δx^(n-1)
=C(n,1)x^(n-1)
=nx^(n-1)
f(x)=x^n,(n∈N+)在x=a处的导数为f'(a)=na^(n-1)
(x + dx)^n = C(n)(0) * x^n + C(n)(1) * x^(n-1) * dx + C(n)(2) * x^(n-2) * dx^2 + ......
(上式-x^n)/dx = C(n)(1) * x^(n-1) + C(n)(2) * x^(n-2) * dx + ....
除第一项外，后面的都含有 dx , dx ---> 0 时，趋于 0 。
所以，
(x^n)' = C(n)(1) * x^(n-1) = n * x^(n-1)
y'(a) = na^(n-1)
是把（x+dx)n次方用级数展开，忽略高阶小量吧，
直接用求导公式y'=nx^(n-1)再代入点x=a就得到y在a点的导数值为na^(n-1)，哪还用到什么级数展开？数学是用尽可能简单的方法解决问题，不是方法越复杂越好