已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,（1）求证：OE⊥面ACD1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 07:22:32

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,（1）求证：OE⊥面ACD1
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,（1）求证：OE⊥面ACD1

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,（1）求证：OE⊥面ACD1
证明：
在正方体中,
DD'⊥平面ABCD
∴DD'⊥AC,
在正方形ABCD中,AC⊥BD
∴AC⊥平面BDD'B'
因此,AC⊥OE
设正方体的边长为2,
∴DO=BO=√2,BE=EB'=1
∴D'O=√6,OE=√3,D'E=3
即是D'E²=D'O²+OE²
∴∠EOD'=90º,
即是OE⊥D'O
又OE⊥AC
∴OE⊥平面ACD'
2,由于AC⊥平面BDD'B'
∴∠AD'O就是AD'和平面BDD'B'所成的夹角
cos∠AD'O=D'O/AD'
D'O=√6,AD=2√2
∴cos∠AD'O=√6/(2√2)=√3/2
因此,AD1与平面BDD1B1所成角的余弦值就是√3/2.

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