作业帮正弦定理中a/sinA=2R是如何得出的?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 04:16:55
正弦定理中a/sinA=2R是如何得出的?
正弦定理中a/sinA=2R是如何得出的?
正弦定理中a/sinA=2R是如何得出的?
正弦定理中a/sinA=2R
正弦定理的一个证明方法就是做三角形的外接圆,R为半径,等弧对等角,得出sinAa/2R
正弦定理
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（在同一个三角形中是恒量,是外接圆的直径）
S△ABC=a*b*sinC/2=b*c*sinA/2=a*c*sinB/2=a*b*c/4
证明:如图,在锐角△ABC中,设AB⊥CD
CD=a·sinB
CD=b·sinC
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
所以有：a/sinA=b/sinB=c/sinC（这里应该是sinC )
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍）
[编辑本段]证明
步骤1.
在锐角△ABC中,设三边为a,b,c.作CH⊥AB垂足为点D
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.
作三角形ABC的外接圆圆O，连接OB(或OC)并反向延长交圆O于D，即BD为直径；连接DC，则三角形BCD为直角三角形，角BCD是直角；
角A=角D(同弧所对圆周角相等）
sinD=BC/BD=a/2R
所以sinA=a/2R
a为三角形ABC的角A所对应的一条边,R为三角形外接圆半径,O为圆心
作一条过B和圆心的直径,交圆与D,直径为BD,那么角A和角D相等,还有角BCD为直角,这些都可以通过圆的性质知道的,那么就有
BC/BD=sin角BDC
于是就有 a/(2R)=sinA
a/sinA=2R