幂级数的理论意义和实际意义是什么啊,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 01:41:13
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幂级数的有关概念
定义6 具有下列形式的函数项级数 (1)称为幂级数.幂级数
特别地,在中令即上述形式化为 (2)称为 的幂级数.取为常数项级数,如收敛,其和为 取为常数项级数,如收敛,其和为 取为和函数项级数,总收敛,其和为 对幂级数主要讨论两个问题:(1)幂级数的收敛域 (2)将函数表示成幂级数.幂级数的收敛域具有特别的结构 定理1:(i)如 在 收敛,则对于满足 的一切 ,都绝对收敛; (ii)如 在 发散,则对于满足 的一切 ,发散.证:(1)∵ 收敛 ∴ (收敛数列必有界) 而 为几何级数,当 即收 ∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛 (2)反证:如存在一点 使 收 则由(1) 收,矛盾.由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间,因此存在非负数R,使 收敛; 发散,称R为收敛半径,(-R,R)为收敛区间.
幂级数的性质
定理 求幂级数的和函数:利用逐项求导,逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式
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