已知a,b,c为实数,且a+b+c=0 ,abc=1,求证:a,b,c三数中必有一个大于3/2.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 18:38:45

已知a,b,c为实数,且a+b+c=0 ,abc=1,求证:a,b,c三数中必有一个大于3/2.
已知a,b,c为实数,且a+b+c=0 ,abc=1,求证:a,b,c三数中必有一个大于3/2.

已知a,b,c为实数,且a+b+c=0 ,abc=1,求证:a,b,c三数中必有一个大于3/2.
因为a+b+c=0 ,abc=1
所以 a b c中必有一个正数,两个负数.
假设a为正数,则b c均为负数 b+c=-a ,且bc=1/a
根据韦达定理可知,b和c可看作是方程x^2+ax+1/a=0的两个解
根据根的判别式△=a^2-4/a≥0求得a的范围.

a,b,c中只有一个正数、两个负数,不妨设a是正数,则b+c=-a,bc=1/a; 则b,c是x^2+ax+1/a=0的两个根,
因此上述方程的判别式
△=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4
a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
得证