1、整数a,b满足a-b是质数,且ab是完全平方数,当a大于或等于2012时,求a的最小值.

1、整数a,b满足a-b是质数,且ab是完全平方数,当a大于或等于2012时,求a的最小值.
1、整数a,b满足a-b是质数,且ab是完全平方数,当a大于或等于2012时,求a的最小值.

1、整数a,b满足a-b是质数,且ab是完全平方数,当a大于或等于2012时,求a的最小值.
a=b+p
ab=b(b+p)=m^2
所以bp=(m+b)(m-b)
p为质数,所以p|m+b或p|(m-b)
(1)若m+b=kp
那么m-b=b/k
m=b(k+1)/k若k=1那么m=2b,p=3b,所以b=1没有满足条件的a
所以b=ck,m=c(k+1),p=c(2k+1)/k
设c=dk,b=dk^2,m=dk(k+1),p=d(2k+1)为质数,所以d=1
p=2k+1,m=k(k+1),b=k^2,a=k^2+2k+1=(k+1)^2
大于2012的最小完全平方数为2025,此时k=44,p=2k+1=89为质数满足要求
(2)若m-b=kp
那么m+b=b/k
设b=ck,m=k(c+p),所以k(2c+p)=c,设c=dk,2c+p=d
p=d-2dk=d(1-2k),显然不存在满足条件的k
综合可以得到a的最小值为2025

数学竞赛的题目。证明a是完全平方数。2025