自然数五次方和公式的求证

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/16 15:46:29

自然数五次方和公式的求证
自然数五次方和公式的求证

自然数五次方和公式的求证
一次方的和已知1+2+3+……+n=n（n+1）/2
而由(n+1)^3-n^3=n^2+n(n+1)+(n+1)^2
即2^3-1^3=2^2+1*2+1^2
3^3-2^3=3^2+2*3+2^2
.
.
.
(n+1)^3-n^3=(n+1)^2+n(n+1)+n^2
两边相加得
（n+1）^3-1^3=1+2*（2^2+3^2+……+n^2）+(n+1)^2+
1*2+2*3+……+n*(n+1)
而1*2+2*3+……+n*(n+1)=1+2^2+……+n^2+1+2+……+
n
得1^2+2^2+3^2+……+n^2=((n^3-1^3)-(n+1)^2+1)/3
-n(n+1)/2=n(n+1)(2n-1)/6
大概就这个步骤,以上次方的公式都能由这样的递推法推出来,不过是比较麻烦,我试过的,能推出来

1^5+2^5+...+n^5=n^2*(n+1)^2*(2n^2+2n-1)/12.
推导是比较麻烦的，但是给出了结论，要证明是不困难的，用数学归纳法即可.如需要，给我短信.

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