设a,b为常数,且x趋于正无穷时(ax^2+bx+1)^(1/2)-x的极限为1,则a+b等于多少
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 08:21:13
设a,b为常数,且x趋于正无穷时(ax^2+bx+1)^(1/2)-x的极限为1,则a+b等于多少
设a,b为常数,且x趋于正无穷时(ax^2+bx+1)^(1/2)-x的极限为1,则a+b等于多少
设a,b为常数,且x趋于正无穷时(ax^2+bx+1)^(1/2)-x的极限为1,则a+b等于多少
√(ax^2+bx+1)-x=[√(ax^2+bx+1)-x]*[√(ax^2+bx+1)+x]/[√(ax^2+bx+1)+x]
=[(a-1)x^2+bx+1]/[√(ax^2+bx+1)+x]
(上下同除x) =[(a-1)x+b+1/x]/[√(a+b/x+1/x^2)+1]
上式分母在x→无穷大时,为有限值√a+1,而分子趋于无穷大.若原式有极限,则分子不能趋于无穷大,于是必有a=1.当a=1时,有:
√(ax^2+bx+1)-x=[(b+1/x]/[√(1+b/x+1/x^2)+1]=b/2=1
于是b=2
故结论为a+b=1+2=3
上下同时乘以(ax^2+bx+1)^(1/2)+x后化为[ax^2-x^2+bx+1]/[(ax^2+bx+1)^(1/2)+x] ①式
上下同时除以x后有x*[a-1+b/x+1/x^2]/[(a+b/x+1/x^2)^(1/2)+1] ,当x趋于无穷大时分母趋于a^(1/2)+1
因为整个极限趋于1,所以分子也趋于a^(1/2)+1,由于x趋于无穷,所以a-1+b/x+1/...
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上下同时乘以(ax^2+bx+1)^(1/2)+x后化为[ax^2-x^2+bx+1]/[(ax^2+bx+1)^(1/2)+x] ①式
上下同时除以x后有x*[a-1+b/x+1/x^2]/[(a+b/x+1/x^2)^(1/2)+1] ,当x趋于无穷大时分母趋于a^(1/2)+1
因为整个极限趋于1,所以分子也趋于a^(1/2)+1,由于x趋于无穷,所以a-1+b/x+1/x^2只能趋于0,即a=1
将a=1带入①式有[bx+1]/[(x^2+bx+1)^(1/2)+x]极限为1,上下同时除以x后有[b+1/x]/[[(1+b/x+1/x^2)^(1/2)+1]=1
(x趋于无穷) 由于分母趋于2,所以分子也趋于2,即b=2所以a+b=1+2=3
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