已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 21:55:27

已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式
已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式

已知数列(An)的前n项和为Sn,若点(Sn,An)在直线y=-2x+1上.求数列(An)的通项公式
An=-2Sn+1 n=1时S1=A1,A1=1/3
A(n+1)=-2S(n+1)+1
做差A(n+1)-An=-2(S(n+1)-Sn)=-2A(n+1)
A(n+1)=1/3An
An等比,所以An=(1/3)^n
n=1时满足,所以An=(1/3)^n

把点(Sn,An)、（Sn+1,An+1)分别代入直线方程y=-2x+1，
得到：An=-2Sn+1，
An+1=-2Sn+1+1，
两个式子相减，
得到An+1-An=-2An+1
即：3An+1=An
所以这是个等比数列，比例系数为1/3
令n=1
得到：A1=1/3
所以，通式An=（1/3)^n

解

见图

由数列{An}的前n项和为Sn，且点(Sn,An)在直线y=-2x+1上，
则有Sn=-2An+1①，亦有S(n+1)=-2A(n+1)+1②，
进而② - ①=A(n+1)=-2[A(n+1)-An], 即3A(n+1)=2An, 亦即A(n+1)=(2/3)An，
因此数列{An}为等比例数列。
当n=1时，①式则为：S0=-2A0+1，即A0=1/3。

全部展开

由数列{An}的前n项和为Sn，且点(Sn,An)在直线y=-2x+1上，
则有Sn=-2An+1①，亦有S(n+1)=-2A(n+1)+1②，
进而② - ①=A(n+1)=-2[A(n+1)-An], 即3A(n+1)=2An, 亦即A(n+1)=(2/3)An，
因此数列{An}为等比例数列。
当n=1时，①式则为：S0=-2A0+1，即A0=1/3。
所以数列{An}的通项公式An=2^(n-1)/3^n。

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