函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1/f(x),若f(1)=-5,则f[f(5)]=

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/02 16:32:27

函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1/f(x),若f(1)=-5,则f[f(5)]=
函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1/f(x),若f(1)=-5,则f[f(5)]=

函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1/f(x),若f(1)=-5,则f[f(5)]=
f(x+4)=f(x+2+2)=1/f(x+2)=f(x)
因此其为周期为4的函数
f(5)=f(1)=-5
f(-5)=f(-5+8)=f(3)=f(1+2)=1/f(1)=-1/5
f[f(5)]=f(-5)=-1/5

因为f(1)=-5，所以f(3)=-1/5,所以f(5)=-5
又f（1）=1/f(-1),所以f(-1)=-1/5,同理可推得f(-5)=-1/5
所以f[f(5)]=f(-5)=-1/5

∵f(x+2)=1/f(x)
∴f(x)=1/f(x+2)
又∵f(1)=1/f(3)=-5
∴f(3)=-1/5
而f(3)=1/f(5)
∴f(5)=-5
∴f[f(5)]=f(-5)=1/f(-3)
而f(-3)=1/f(-1)
f(-1)=1/f(1)=-1/5
∴f[f(5)]=-1/5

全部展开

先算f(5)=f(3+2)=1/f(3)
算f(3)=f(1+2)=1/f(1)=-1/5
所以f(5)=-5
所以ff(5)=f(-5)
然后来算f(-5)
把已知的f(x+2)=1/f(x)变形为f(x)=1/f(x+2)
所以f(-5)=1/f(-5+2)=1/f(-3)
算f(-3)=1/f(-3+2)=1/f(-1)
算f(-1)=1/(-1+2)=1/f(1)=-1/5
所以f(-3)=-5
所以f(-5)=-1/5
所以f[f(5)]=-1/5
应该是能看懂了，估计
其实可以证明周期是4

收起

f(x+2)=1/f(x),则f(x)*f(x+2)=1,
取x=t,f(t)*f(t+2)=1
取x=t+2,f(t+2)*f(t+4)=1
根据等量代换f(t)=f(t+4)说明该函数以4为周期f(1)=-5,f(5)=f(1+4)=f(1)=-5
所以f[f(5)]=f(-1)
现在我们来求f(-1),f(x+2)=1/f(x),取x=-1代入f(1)=1/f(-1),f(1)=-5,
所以f(-1)=-1/5
所以f[f(5)]=f(-1)=-1/5