证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 04:59:30

证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约
证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约

证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约
方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.
用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.
由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.
依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n.
而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.
且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1.
因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n.
多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),
于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾.
所以f(x)不可约.

设f(x),g(x),h(x)都是多项式,若 (f(x),g(x))=1,证明(f(x)+g(x)h(x),g(x))=1 试证：f(x)是多项式,如果(x-1)整除f(x^n),那么(x^n-1)整除f(x^n). 证明试证：f(x)是多项式,如果(x-1)整除f(x^n),那么(x^n-1)整除f(x^n).证明由(x-1)整除f(x^n),则存在多项式Q(x)有f(x^n)=Q(x)(x-1)将x=1代入上式得f( 设f(x),g(x),h(x)都是多项式,h(x)的首项系数为1证明：(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x) 求助一道高等代数多项式的问题证明：多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数＂如果(x-1)整除f(x^n)那么(x^n-1)整除f(x^n)＂中的证明问题试证：f(x)是多项式,如果(x-1)整除f(x^n),那么(x^n-1)整除f(x^n).证明由(x-1)整除f(x^n),则存在多项式Q(x)有f(x^n)=Q(x)(x-1)将x=1代入上式得f(1)=0,故存设f(x)=lgx,证明f(x)+f(x+1)=f[x(x+1)] 证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约证明f(x)=1-x^2/cosx,证明f(-x)=f(x) 已知f(X)是二次多项式,f(x+1)-f(x)=8x+3求f(X)的表达式已知f(X)是二次多项式,f(x+1)-f(x)=8x+3求f(X)的表达式已知f(x)是二次多项式,且f(x+1)-f(x)=8x+3,求f(x) 设f(x)是整系数多项式且f(0),f(1)都是奇数,证明f(x)没有有理根多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明：F(X)=0有n+1个不同根,则F(X)恒等于0 证明函数f(x)=sinx 不是多项式设f(x),g(x),h(x)都是多项式,证明：：(f(x),g(x))=(f(x)-g(x)h(x),g(x)) 设f(x),g(x)不全为零,证明(f(x),g(x)+f(x))=(g(x),g(x)-f(x)) 高等代数多项式 f[f-1(x)]=x,f-1[f(x)]=x如何证明这个性质偶函数f (x-1)=-f (x+1)证明f(X)=f(x+4)