若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F.求证：F=2V-4明白点

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 19:01:05

若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F.求证：F=2V-4明白点
若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F.
求证：F=2V-4
明白点

若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F.求证：F=2V-4明白点
你有没有打错啊?是不是欧拉公式啊?
用拓朴学方法证明欧拉公式
尝欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体）,假 设F,E和V分别表示面,棱（或边）,角（或顶）的个数,那么
F-E+V=2.试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式.
证明 如图15（图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的）：
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体.
（2）去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子.假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1.
（3）对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子.每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变.因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变.有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上.
（4）如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC.这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变.
（5）如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF.这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变.
（6）这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子.这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1.
（7）因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样.
（8）如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点.因此F′-E′+V′仍然没有变.
即F′-E′+V′=1
成立,于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证.
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用球面三角形面积公式证明欧拉公式
假设在任意凸多面体中放置一个点光源,以这个点光源为中心作一个单位球,凸多面体的顶点、棱、面都会在球上形成投影.那么只要证明在球面上形成的点、线、面满足欧拉公式即可.
然后将球面上的所有面剖分成三角形,剖分一个面时,任意两条剖分线不要在这个面的内部形成交叉,这样剖分为三角形后,球面投影的面数和线数会增加,由于每1条线将1个面分成2个面,因而增加1条线也就增加了1个面,线和面增加的数目相同.
假设原来的顶点、棱、面的个数分别为V、E、F,那么进行三角剖分后,V不变,E和F增加的数目相同,因而F-E+V的值保持不变.下面只证全部为球面三角形时F-E+V=2.
所有面全部为三角形时,由于每个面有3条边,而每条边又为2个面所共有,因而2E=3F,则F-E=-F/2,下面再证明V-F/2=2即可.
每一个顶点的一个周角2∏被若干个球面三角形的角围成,因而所有三角形的内角总和为2∏V,一个球面三角形的面积为A+B+C-∏,则所有三角形的面积为：所有三角形内角总和-∏F,而所有三角形面积之和为球面面积4∏,即得2∏V-∏F=4∏,等式两边除以2∏得：V-F/2=2,问题得证.

若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F.求证,F=2V-4. 若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F,求证：F=2V-4 若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F,求证：F=2V-4 若一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶点数为V,棱数为E,面数为F.求证：F=2V-4明白点 一个简单多面体的每个面都是五边形,每个顶点都有三条棱与它相连,求这个多面体的面数,棱数,顶点数 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱,则其顶点数V,面数F满足的关系式是什么 已知一个简单多面体的每一个面都是三角形,以每个顶点为一端都有五条棱,则此多面体的楞数为?如题, 如果一个简单多面体的每个面都是三角形,其顶数为v,棱数为e,面数为f,求证：f=2v-4要写出过程! 简单多面体的顶点数V,面数F,棱数E之间有关系v+f-e=2,这就是著名的欧拉公式.若一个简单的多面体的每一个面都是三角形,利用欧拉公式来判断f=2v-4成立么?若成立,请说明理由,若不成立,请举出反 若一个简单的多面体的每一个面都是三角形,其顶点为V,棱数为E,面为F,则F=2V-4成立吗若成立,说明理由,不成立,请举反例...急用, 一个简单多面体的各面都是三角形,那为什么棱数E＝1／2＊3＊F 欧拉公式中简单多面体中顶点数,面数,棱数的关系某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表 一个多面体最少有几个面,每个面都是什么图形,它的名称是 一个多面体,最多有-------个面,每个面都是-------形,它的名称是----------? 数学的多面体里面只知道V（顶点数）=24,每个V有三条棱,是由八边形和三角形组成的多面体,求有多少面. 有关欧拉公式简单多面体中顶点数（v）面数（f）棱数(e)的问题v+f-e=2某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条 已知一个多面体(或棱柱)的三视图全都是三角形,则这个多面体是()面体(或()棱锥) 对于多面体,著名的数学家欧拉证明了这样的关系式：定点数（V）面数（F）棱数（E）满足：V+F-E=2现在知道一个多面体的每个面都是五边形,你能够用欧拉公式说明在这个多面体中 顶点数（V