帮我详细解释一下三角函数、反三角函数和对数函数他们的性质、计算,最好有例题.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/26 19:41:09
帮我详细解释一下三角函数、反三角函数和对数函数他们的性质、计算,最好有例题.
帮我详细解释一下三角函数、反三角函数和对数函数
他们的性质、计算,最好有例题.
帮我详细解释一下三角函数、反三角函数和对数函数他们的性质、计算,最好有例题.
.函数y=arcsinx的定义域是 [-1,1] ,值域是.
2.函数y=arccosx的定义域是 [-1,1] ,值域是 [0,π] .
3.函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.
4.函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0,π) .
5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)=.
6.sin(arccos)=; ctg[arcsin(-)]=; tg(arctg)=; cos(arcctg)=.
7.若cosx=-,x∈(,π),则x=.
8.若sinx=-,x∈(-,0),则x=.
9.若3ctgx+1=0,x∈(0,π),则x=.
二.基本要求:
1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系;
2.掌握反三角函数的定义域和值域,y=arcsinx,x∈[-1,1],y∈[-,],y=arccosx,x∈[-1,1],y∈[0,π],在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题时,一定要先看清楚变量的取值范围;
3.符号arcsinx可以理解为[-,]上的一个角或弧,也可以理解为区间[-,]上的一个实数;同样符号arccosx可以理解为[0,π]上的一个角或弧,也可以理解为区间[0,π]上的一个实数;
4.y=arcsinx等价于siny=x,y∈[-,],y=arccosx等价于cosy=x,x∈[0,π],这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据;
5.注意恒等式sin(arcsinx)=x,x∈[-1,1] ,cos(arccosx)=x,x∈[-1,1],arcsin(sinx)=x,x∈[-,],arccos(cosx)=x,x∈[0,π]的运用的条件;
6.掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断,大多数情况下,可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用;
7.注意恒等式arcsinx+arccosx=,arctgx+arcctgx=的应用.
例一.下列各式中成立的是(C).
(A)arcctg(-1)=- (B)arccos(-)=-
(C)sin[arcsin(-)]=- (D)arctg(tgπ)=π
(A)(B)中都是值域出现了问题,即arcctg(-1)∈(0,π),arccos(-)∈[0,π],
(D)中,arctg(tgπ)∈[-,],而π[-,],∴ (A)(B)(D)都不正确.
例二.下列函数中,存在反函数的是(D).
(A)y=sinx,x∈[-π,0] (B)y=sinx,x∈[,]
(C)y=sinx,x∈[,] (D)y=sinx,x∈[,]
本题是判断函数y=sinx在哪个区间上是单调函数,由于y=sinx在区间[,]上是单调递减函数,所以选D.
例三. arcsin(sin10)等于(C).
(A)2π-10 (B)10-2π (C)3π-10 (D)10-3π
本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等,且该角度在[-,]上.
由于sin(3π-10)=sin(π-10)=sin10,且3π-10∈[-,],所以选C.
例四.求出下列函数的反函数,并求其定义域和值域.
(1)f (x)=2sin2x,x∈[,];(2)f (x)=+arccos2x.
(1) x∈[,],2x∈[,],2x-π∈[-,],-2≤y≤2
由y=2sin2x,得sin2x=,sin(2x-π)=-sin2x=-,∴ 2x-π=arcsin(-),
∴ x=-arcsin,∴ f -1(x)=-arcsin,-2≤x≤2,y∈[,].
(2) f (x)=+arccos2x,x∈[-,],y∈[,],
∴ arccos2x=y-,2x=cos(y-),x=cos(y-)=siny,
∴f -1(x)=sinx ,x∈[,],y∈[-,].
例五.求下列函数的定义域和值域:
(1) y=arccos; (2) y=arcsin(-x2+x); (3) y=arcctg(2x-1),
(1) y=arccos,0-1,∴ 0< arcctg(2x-1)-的解集是.4.不等式arccosx>的解集是.
四.试题精选:
(一) 选择题:
1.cos(arccos)的值是(D).
(A) (B) (C)cos (D)不存在
2.已知arcsinx>1,那么x的范围是(C).
(A)sin1
晕楼上哪超的,你的和看书有什么区别啊。我根据所学解释下吧
三角函数:通过公式计算出三角形的内角度,边长。这个参考高中数学的几何就可以了。是最简单的一种。想学好这个只要把公式记住,互相转换就可以了。
反三角函数:应用于天体计算。以图形为主。学好反三角重要一点是以定要公式结合X,Y坐标图,深刻理解公式代表的图形。参考高中数学--代数。
对数函数:高三课本涉及,基本大学的高数讲的...
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晕楼上哪超的,你的和看书有什么区别啊。我根据所学解释下吧
三角函数:通过公式计算出三角形的内角度,边长。这个参考高中数学的几何就可以了。是最简单的一种。想学好这个只要把公式记住,互相转换就可以了。
反三角函数:应用于天体计算。以图形为主。学好反三角重要一点是以定要公式结合X,Y坐标图,深刻理解公式代表的图形。参考高中数学--代数。
对数函数:高三课本涉及,基本大学的高数讲的多。参考高数(数2,数1基本不讲这个了)。在对数函数,指数函数是成对的,两个相互学有帮助。
收起
.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是.
2.函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] .
3.函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.
4.函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-...
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.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是.
2.函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] .
3.函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.
4.函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)=.
6.sin(arccos)=; ctg[arcsin(-)]=; tg(arctg)=; cos(arcctg)=.
7.若cosx=-, x∈(, π),则x=.
8.若sinx=-, x∈(-, 0),则x=.
9.若3ctgx+1=0, x∈(0, π),则x=.
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1 三角函数的定义
1.1 三角形中的定义
图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数:
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中,如下定义六个三...
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1 三角函数的定义
1.1 三角形中的定义
图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数:
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中,如下定义六个三角函数:
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
2 转化关系
2.1 倒数关系
2.2 平方关系
2 和角公式
3 倍角公式、半角公式
3.1 倍角公式
3.2 半角公式
3.3 万能公式
4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式
4.2 和差化积公式
不能贴图????
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三角函数:通过公式计算出三角形的内角度,边长。这个参考高中数学的几何就可以了。是最简单的一种。想学好这个只要把公式记住,互相转换就可以了。
反三角函数:应用于天体计算。以图形为主。学好反三角重要一点是以定要公式结合X,Y坐标图,深刻理解公式代表的图形。参考高中数学--代数。
对数函数:高三课本涉及,基本大学的高数讲的多。参考高数(数2,数1基本不讲这个了)。在对数函数,指数函数...
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三角函数:通过公式计算出三角形的内角度,边长。这个参考高中数学的几何就可以了。是最简单的一种。想学好这个只要把公式记住,互相转换就可以了。
反三角函数:应用于天体计算。以图形为主。学好反三角重要一点是以定要公式结合X,Y坐标图,深刻理解公式代表的图形。参考高中数学--代数。
对数函数:高三课本涉及,基本大学的高数讲的多。参考高数(数2,数1基本不讲这个了)。在对数函数,指数函数是成对的,两个相互学有帮助。
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函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是.
2.函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] .
3.函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.
4.函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)...
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函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是.
2.函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] .
3.函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.
4.函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)=.
6.sin(arccos)=; ctg[arcsin(-)]=; tg(arctg)=; cos(arcctg)=.
7.若cosx=-, x∈(, π),则x=.
8.若sinx=-, x∈(-, 0),则x=.
9.若3ctgx+1=0, x∈(0, π),则x=.
二.基本要求:
1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系;
2.掌握反三角函数的定义域和值域,y=arcsinx, x∈[-1, 1], y∈[-,], y=arccosx, x∈[-1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中,定义域和值域的作用更为明显,在研究问题时,一定要先看清楚变量的取值范围;
3.符号arcsinx可以理解为[-,]上的一个角或弧,也可以理解为区间[-,]上的一个实数;同样符号arccosx可以理解为[0,π]上的一个角或弧,也可以理解为区间[0,π]上的一个实数;
4.y=arcsinx等价于siny=x, y∈[-,], y=arccosx等价于cosy=x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据;
5.注意恒等式sin(arcsinx)=x, x∈[-1, 1] , cos(arccosx)=x, x∈[-1, 1], arcsin(sinx)=x, x∈[-,], arccos(cosx)=x, x∈[0, π]的运用的条件;
6.掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断,大多数情况下,可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用;
7.注意恒等式arcsinx+arccosx=, arctgx+arcctgx=的应用。
例一.下列各式中成立的是(C)。
(A)arcctg(-1)=- (B)arccos(-)=-
(C)sin[arcsin(-)]=- (D)arctg(tgπ)=π
(A)(B)中都是值域出现了问题,即arcctg(-1)∈(0, π), arccos(-)∈[0, π],
(D)中,arctg(tgπ)∈[-, ], 而π[-,], ∴ (A)(B)(D)都不正确。
例二.下列函数中,存在反函数的是(D)。
(A)y=sinx, x∈[-π, 0] (B)y=sinx, x∈[, ]
(C)y=sinx, x∈[,] (D)y=sinx, x∈[,]
本题是判断函数y=sinx在哪个区间上是单调函数,由于y=sinx在区间[,]上是单调递减函数, 所以选D。
例三. arcsin(sin10)等于(C)。
(A)2π-10 (B)10-2π (C)3π-10 (D)10-3π
本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等,且该角度在[-, ]上。
由于sin(3π-10)=sin(π-10)=sin10, 且3π-10∈[-, ], 所以选C。
例四.求出下列函数的反函数,并求其定义域和值域。
(1)f (x)=2sin2x, x∈[, ];(2)f (x)=+arccos2x.
(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x-π∈[-, ], -2≤y≤2
由y=2sin2x, 得sin2x=, sin(2x-π)=-sin2x=-, ∴ 2x-π=arcsin(-),
∴ x=-arcsin, ∴ f -1(x)=-arcsin, -2≤x≤2, y∈[, ].
(2) f (x)=+arccos2x, x∈[-, ], y∈[,],
∴ arccos2x=y-, 2x=cos(y-), x=cos(y-)=siny,
∴f -1(x)=sinx , x∈[,], y∈[-, ].
例五.求下列函数的定义域和值域:
(1) y=arccos; (2) y=arcsin(-x2+x); (3) y=arcctg(2x-1),
(1) y=arccos, 0<≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).
(2) y=arcsin(-x2+x), -1≤-x2+x≤1, ∴ ≤x≤,
由于-x2+1=-(x-)2+, ∴ -1≤-x2+x≤, ∴ -≤y≤arcsin.
(3) y=arcctg(2x-1), 由于2x-1>-1, ∴ 0< arcctg(2x-1)<, ∴ x∈R, y∈(0, ).
例六.求下列函数的值域:
(1) y=arccos(sinx), x∈(-, ); (2) y=arcsinx+arctgx.
(1) ∵x∈(-, ), ∴ sinx∈(-, 1], ∴ y∈[0, ).
(2) ∵y=arcsinx+arctgx., x∈[-1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,
∴ -≤arcsinx≤, -≤arctgx≤, ∴ y∈[-,].
例七.判断下列函数的奇偶性:
(1) f (x)=xarcsin(sinx); (2) f (x)=-arcctgx.
(1) f (x)的定义域是R, f (-x)=(-x)arcsin[sin(-x)]=xarcsin(sinx)=f (x),
∴ f (x)是偶函数;
(2) f (x)的定义域是R,
f (-x)=-arcctg(-x)=-(π-arcctgx)=arcctgx-=-f (-x),
∴ f (x)是奇函数.
例八.作函数y=arcsin(sinx), x∈[-π, π]的图象.
y=arcsin(sinx), x∈[-π, π], 得, 图象略。
例九.比较arcsin, arctg, arccos(-)的大小。
arcsin<, arctg<, arccos(-)>, ∴arccos(-)最大,
设arcsin=α,sinα=, 设arctg=β, tgβ=, ∴ sinβ=
例十.解不等式:(1) arcsinx
(1) x∈[-1, 1], 当x=时, arcsinx=arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数,
∴ 当x∈[-1, )时, arcsinx
∵ arcsinx是增函数, ∴
1.下列关系式总成立的是(B)。
(A)π-arccosx>0 (B)π-arcctgx>0 (C)arcsinx-≥0 (D)arctgx->0
2.定义在(-∞, ∞)上的减函数是(D)。
(A)y=arcsinx (B)y=arccosx (C)y=arctgx (D)y=arcctgx
3.不等式arcsinx>-的解集是. 4.不等式arccosx>的解集是.
四.试题精选:
(一) 选择题:
1.cos(arccos)的值是(D)。
(A) (B) (C)cos (D)不存在
2.已知arcsinx>1,那么x的范围是(C)。
(A)sin1
(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数
4.若a=arcsin(-), b=arcctg(-), c=arccos(-),则a, b, c的大小关系是(B)。
(A)a5.已知tgx=-, x∈(, π),则x=(C)。
(A)+arctg(-)(B)π-arctg(-)(C)π+arctg(-)(D)
6.函数f (x)=2arccos(x-2)的反函数是(D)。
(A)y=(cosx-2) (0≤x≤π) (B)y= cos(x-2) (0≤x≤2π)
(C)y= cos(+2) (0≤x≤π) (D)y= cos+2 (0≤x≤2π)
7.若arccosx≥1,则x的取值范围是(D)。
(A)[-1, 1] (B)[-1, 0] (C)[0, 1] (D)[-1, arccos1]
8.函数y=arccos(sinx) (-
9.已知x∈[-1, 0],则下列等式成立的是(B)。
(A)arcsin=arccosx (B)arcsin=π-arccosx
(C)arccos=arcsinx (D)arccos=π-arcsinx
10.直线2x+y+3=0的倾斜角等于(C)。
(A)arctg2 (B)arctg(-2) (C)π-arctg2 (D)π-arctg(-2)
(二) 填空题:
11.若cosα=- (<α<π),则α=. (用反余弦表示)
12.函数y=(arcsinx)2+2arcsinx-1的最小值是 -2 .
13.函数y=2sin2x (x∈[-, ])的反函数是.
14.函数y=arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ,值域是
15.用反正切表示直线ax-y+a=0 (a≠0)的倾斜角为α=
(三) 解答题:
16.求下列函数的反函数:
(1) y=3cos2x, x∈[-, 0]; (2) y=π+arccosx2 (0
且-3≤y≤3. ∴ π+2x∈[0, π], y=3cos2x=-3cos(π+2x), cos(π+2x)=-,
∴ π+2x=arccos, ∴x=arccos-,
∴y=3cos2x, x∈[-, 0]的反函数是y=arccos-, -3≤x≤3.
(2) ∵0
17.求函数y=(arccosx)2-3arccosx的最值及相应的x的值。
函数y=(arccosx)2-3arccosx, x∈[-1, 1], arccosx∈[0, π]
设arccosx=t, 0≤t≤π, ∴ y=t2-3t=(t-)2-,
∴ 当t=时,即x=cos时, 函数取得最小值-,
当t=π时,即x=-1时,函数取得最大值π2-3π.
18.若f (arccosx)=x2+4x, 求f (x)的最值及相应的x的值。
设arccosx=t, t∈[0, π], x=cost, 代入得f (t)=cos2t+4cost,
∴ f (x)=cos2x+4cosx, x∈[0, π], cosx∈[-1, 1], f (x)=(cosx+2)2-4,
∴ 当cosx=-1时,即x=π时,函数取得最小值-3.
当cosx=1时,即x=0时,函数取得最大值5.
19.(1)求函数y=arccos(x2-2x)的单调递减区间; (2)求函数arctg(x2-2x)的单调递增区间。
(1) 函数y=arccosu, u∈[-1, 1]是减函数,
∴ -1≤x2-2x≤1,1-≤x≤1+, 又x2-2x=(x-1)2+1,
∴ 1≤x≤1+时, u=x2-2x为增函数,根据复合函数的概念知此时原函数为减函数。
(2) 函数y=arctgu增函数, u∈R, 又x2-2x=(x-1)2+1,
∴ 当x≥1时,原函数是增函数。
20.在曲线y=5sin(arccos)上求一个点,使它到直线x+y-10=0的距离最远,并求出这个最远距离
设arccos=α, -3≤x≤3, cosα=,
y=5sinα=5,
三角函数的性质和图象
[重点]:复合三角函数的性质和图象
[难点]:复合三角函数的图象变换
[例题讲解]
例1.求函数的定义域:f(x)=
(1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z)
(2): -4
注意:sinx中的自变量x的单位是“弧度”,x∈R。
例2.求y=cos( -2x)的递增区间。
分析(1):该函数是y=cosu,u= -2x的复合函数,
∵ u= -2x为减函数,要求y=cos( -2x)的递增区间,只须求y=cosu的递减区间。
方法(1):∵ y=cosu的递减区间为2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z)
∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ,- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z)
∵ -k与k等效,∴ 递增区间为[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。
分析(2):∵ cosu为偶函数,∴ y=cos(2x- )
设y=cost,t=2x- ,
∵ t=2x- 为增函数,要求y=cos(2x- )的递增区间,只须求y=cost的递增区间。
方法(2):∵ y=cost的递增区间为π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z)
∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ, +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)
∴ 递增区间为 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。
注意:两种方法求得的结果表面上看不相同,但是从图上看两种形式所表示的范围完全相同。
例3.求函数y=sin2x+sinx·sin(x+ )的周期和值域。
分析:求函数的周期、值域、单调区间等,对于三角函数式常用的方法是转化为一个角的一个三角函数式。
y=
=
=
=
∴ T= =π,值域为[ ]。
例4.求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。
分析:sinx+cosx与sinxcosx有相互转化的关系,若将sinx+cosx看成为整体,设为新的元,函数式可转化为新元的函数式,注意新元的取值范围。
设sinx+cosx=t,t∈[- , ]。
则(sinx+cosx)2=t2,即1+2sinxcosx=t2,sinxcosx= ,
y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1,
当t= 时,ymax= + 。
例5.判断下列函数的奇偶性
(1)y=sin(x+ )- cos(x+ )
(2)y=
分析:定义域为R,关于原点对称,经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式,再判断其奇偶性。
(1)y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )]
=2sin[(x+ )- ]
=2sinx
∴ 函数为奇函数。
(2)∵ 从分母可以得出定义域x≠π+2kπ且 (k∈Z),在直角坐标系中定义域关于原点不对称。
∴ 函数为非奇非偶函数。
例6.写出下列函数图象的解析式
(1)将函数y=sinx的图象上所有点向左平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,得到所求函数的图象。
(2)将函数y=cosx的图象上所有点横坐标缩为原来的一半,纵坐标保持不变,然后把图象向左平移 个单位,得到所求函数的图象。
(1)分析:按图象变换的顺序,自变量x的改变量依次是:+ ; 倍。
图象的解析式依次为:y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。
所求函数图象的解析式为y=sin( ),也可以写为:y=sin (x+ ).
(2)分析:按图象变换的顺序,自变量x的改变量依次是:2倍;+ 。
图象的解析式依次为:y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。
所求函数图象的解析式为y=cos2(x+ ),也可以写为:y=cos(2x+ )。
例7.已知函数y=sin(3x+ )
(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断函数的对称性。
分析:函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别,用定义法,换元法。
(1)定义域为R,设f(x)=sin(3x+ )
f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- )
∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ )
sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ )
∴ 函数y=sin(3x+ )不是奇函数也不是偶函数。
(2)函数y=sin(3x+ )的图象是轴对称图形,对称轴方程是3x+ =kπ+ 。
即x= (k∈Z)
函数y=sin(3x+ )的图象也是中心对称图形,∵ y=sinu图象的对称中心的坐标是(kπ,0)。
令3x+ =kπ,x= (k∈Z)。
∴ y=sin(3x+ )图象的对称中心的坐标是( ,0) (k∈Z)。
测试
选择题
1.y= 的定义域是(以下k∈Z)( )
(A)[2k ] (B)[2k ]
(C)[2k ] (D)(-∞,+∞)
2.f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ=( )(以下k∈Z)
(A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+
3.在[ ]上与函数y=cos(x-π)的图象相同的函数是( )
(A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π)
4.把函数y=sin(2x- )的图象向右平移 个单位,所得图像对应的函数是( )
(A)非奇非偶函数 (B)既是奇函数,又是偶函数
(C)奇函数 (D)偶函数
5.将函数y=sin( )的图象作如下的变换便得到函数y=sin x的图象( )
(A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移
6.函数f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω>0)以2为最小正周期,且能在x=2时取得最大值,则θ的一个值是( )
(A)- π (B)- π (C) π (D)
7.ω是正实数,函数 在 上递增,那么( )
(A) (B) (C) (D)
8.y=cos( +2x)sin( -2x)的单调递增区间是(以下k∈Z)( )
(A)[ ] (B)[ ]
(C)[ ] (D)[ ]
9.函数y=3sin(x+ 的最大值为( )
(A)4 (B) (C)7 (D)8
10.当x∈( )时,f(x)=|sin(3kx+ )|有一个完整的周期,则k能取的最小正整数值是( )
(A)12 (B)13 (C)25 (D)26
答案与解析
答案:1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B
解析:
1.对于x∈R,-1≤sinx≤1,cos(sinx)>0恒成立,所以x∈R。
2.整理得到f(x)=2sin(+θ-3x),则根据f(0)=0代入选项验证即可。
注:奇函数的一个性质:如果奇函数f(x)的定义域中有0,则f(0)=0(反之不一定成立)。
3.首先整理,y=cos(x-π)=-cosx,
y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[],cosx<0)
y= (x= 时无意义,显然不是答案)
y=cos(x- π)=-sinx,
y=cos(-x-4π)=cosx。
4.y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。
注:对于函数图象平移,掌握左加右减(向左平移时x加一个数,向右平移时x减一个数)的法则,还需注意,只是改变(x)。
5.y=sin x=sin[ (x- )+ ], y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]
即x变成x- ,所以是向右平移 个单位。
6.整理得f(x)= sin(2ωx+2θ),由T= =2,ω= ,且x=2时,f(x)取最大值,代入选项验证即可。
7.令ωx=t,因为f(x)=2sint在[- , ]上是增函数,
所以- ≤t≤ ,即- ≤ωx≤ ,- ≤x≤ ,
根据已知f(x)在[- , ]上递增,所以 ,解出0<ω≤ 。
8.化简出y= - sin4x=- sin4x+ ,原题即求sin4x的递减区间,
2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。
9.注意到 ,化简原式y=8cos(x- )。
10.函数f(x)的周期T= ,根据题意T ,即 ,解出k≥4π。
注:函数f(x)=|sinωx|的周期是T= 。
含参数的三角函数问题
有关含参数的问题,因为能很好的考察分类讨论的数学思想和比较深刻地考察数学能力,在前几年的高考中一度成为热门。但是因为难度较大,近两年有所降温。含参数问题较多的出现在不等式和函数的有关问题中,在三角函数中也时有涉及。但因为三角函数在高考中多以低档题和中档题出现,本部分内容较难。
所谓的含参数,就是与变量有关。因此处理这类问题要有变量的思想,就是要把参数看作是一个运动的、一个变化的量。这个参数变化为不同的值时,可能对解题过程产生不同的影响,这就需要分类讨论。下面几个例题都是参变量与三角函数的图象与性质相结合的问题。
例1.若对于一切实数x,cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立,那么a2+b2+c2=_______。
分析:当变量x变化时,cosx的值也在变化,但这个变化不能影响整个式子的值。
原式整理成:(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0,即不论x取何值,这个式子恒成立,
则必须a-2=0,b=0,c+1=0同时成立,解出a=2,b=0,c=-1,所以a2+b2+c2=5。
注:要使acosx不受x值变化的影响,只能a=0。
例2.已知α,β∈[- , ],sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β<0, 求a的取值范围。
分析:要求变量a的取值范围,则必须根据已知条件找到一个含有a的不等式,同时注意本题中正弦函数的有界性。
因为α+β<0,则α<-β,同时α,-β∈[- , ],
根据y=sinx在[- , ]上是增函数,得到sinα
例3.函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称,那么a的值是多少?
分析:函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)
令f(x)=sin2x+acos2x,根据题意对于任意的x,f(- +x)=f(- -x)恒成立,
即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x)
sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)]
(1+a)sin2x=0
要使上式恒成立(不受x取值影响),必须1+a=0,即a=-1。
注:1、是不是有和例1类似的地方?
2、对于选择题,完全可以取关于x=- 对称的两个点代入验证,比如 。
例4.已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解,求实数m的取值范围。
分析:把变量m单独放在一边,考察另一边的取值范围。
由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1,
令y=-3sin2x-2sinx+1,则y有最大最小值,只要m在这个范围内,原方程就有解,
再令t=sinx,则-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。根据二次函数的图象-4≤y≤ ,
即-4≤m≤ 时,原方程有解。
注:把变量分离,单独放在一边也是处理变量的一个技巧。下面例5也用到了。
例5.已知0≤θ≤ ,求使cos2θ+2msinθ-2m-2<0成立的实数m的取值范围。
原式即2m(sinθ-1)<1+sin2θ
当sinθ-1=0,即θ= 时,不论m取何值,原式成立,即m∈R.
当sinθ-1≠0,即θ≠ 时,原式即2m> (sinθ-1<0)
令y= ,则y是一个变量,要使2m>y成立,只要2m>y的最大值即可。
下面求y的最大值(0≤sinθ<1 0<1-sinθ≤1)
y=
=sinθ+
=sinθ+1+
=-[(1-sinθ)+ ]+2
∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0时,取最小值3,
∴ y最大值=-1,2m>-1,m>- ,
所以当θ= 时,m取任意实数,原式都成立,
当0≤θ< 时,m>- 原式都成立。
注意:1、本题是一个综合题,属于较难的题目,考察的知识较多,但要体会变量的思想。
2、求函数y=x+ (a>0)的最值,可根据图像观察在(0,+∞)的图象,如图(是奇函数)。
总结:在例1,3,4,5中都体现了变量的思想,注意体会。例5比较深刻地考察了分类讨论的思想。另外,含参数问题往往和取值范围联系在一起,也就注定了要与不等式联系在一起。
高考精题
1.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间 上为减函数的是( )。
A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx
y=cos2x, ,周期是π,在区间 上是增函数,
y=2|sinx|,周期是π,在区间 上是减函数,
,至少可以判断,在区间 上不是减函数,
y=-cotx,在区间 上是增函数,∴应选B。
2.函数y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的大致图象是( )。
由函数的奇偶性(非奇非偶)及特殊点的坐标先删去A、B、D。∴ 应选C。
3.设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数,则t的一个可能值是___。
画出f(x)=sin2x的草图,不难看出将图像向左水平移 ,就可得到关于y轴对称的图像,
∴ 应填 。
4. 函数y=-xcosx的部分图像是( )。
∵ f(x)=-xcosx,∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),
那么f(x)是奇函数(x∈R),可在B、D中选,
又∵ 设图像上一点 ,在x轴下方,
∴ 应选D。
5.已知函数f(x)=x2+2x·tanθ-1, ,其中 。
(1)当 时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间 上是单调函数。
(1)当 时, ,
∴ 时,f(x)的最小值为 ,
x=-1时,f(x)的最大值为 。
(2)函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ图像的对称轴为x=-tanθ,
∵ y=f(x)在区间[-1, ]上是单调函数,
∴ -tanθ≤-1或 ,
即tanθ≥1或tanθ≤ ,
因此,θ的取值范围是 。
评注:本题是二次函数与三角函数基本知识的综合题,问题(1)解中,得到二次函数的解析式后,要注意区间端点处的函数值与该函数的最值的正确比较,加以取舍。
第(2)问中,依题设f(x)在区间 上是单调函数,要分类考虑,若是单调递增,则-tanθ≤-1,若是单调递减,则 ,这一步是解题的关键,也是难点。
6.已知函数 x∈R。
(I)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
(II)该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
(I)
y取得最大值必须且只需
即 k∈Z。
所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为 .
(II)将函数y=sinx依次进行如下变换:
(i)把函数y=sinx的图像向左平移 ,得到函数 的图像;
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 的图像;
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变),得到函数 的图像;
(IV)把得到的图像向上平移 个单位长度,得到函数 的图像;
综上得到函数 的图像。
评注:应用三角公式,将已知函数式化成一个角[即 ]的简单函数解析式,便可讨论其最值,本题的解答以相应的图像变换给以详细说明,要理解掌握。
回答者:icee22 - 见习魔法师 二级 5-23 23:02
晕楼上哪超的,你的和看书有什么区别啊。我根据所学解释下吧
三角函数:通过公式计算出三角形的内角度,边长。这个参考高中数学的几何就可以了。是最简单的一种。想学好这个只要把公式记住,互相转换就可以了。
反三角函数:应用于天体计算。以图形为主。学好反三角重要一点是以定要公式结合X,Y坐标图,深刻理解公式代表的图形。参考高中数学--代数。
对数函数:高三课本涉及,基本大学的高数讲的多。参考高数(数2,数1基本不讲这个了)。在对数函数,指数函数是成对的,两个相互学有帮助。
回答者:bazinv - 门吏 三级 5-24 11:15
.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是.
2.函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] .
3.函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是.
4.函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
5.arcsin(-)=; arccos(-)=; arctg(-1)=; arcctg(-)=.
6.sin(arccos)=; ctg[arcsin(-)]=; tg(arctg)=; cos(arcctg)=.
7.若cosx=-, x∈(, π),则x=.
8.若sinx=-, x∈(-, 0),则x=.
9.若3ctgx+1=0, x∈(0, π),则x=.
回答者:星星宇宙1 - 魔法师 四级 5-24 11:22
1 三角函数的定义
1.1 三角形中的定义
图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数:
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中,如下定义六个三角函数:
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
2 转化关系
2.1 倒数关系
2.2 平方关系
2 和角公式
3 倍角公式、半角公式
3.1 倍角公式
3.2 半角公式
3.3 万能公式
4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式
4.2 和差化积公式
收起
去看数学书,最好的方法了。不是在这上面说得清的。
同学,上面那些人都是在网站上粘贴来的。
这些看了对你没有好处啊,会越看越蒙(你不觉得吗)?
而且也没有例题,这样下来,你会很没有效率,老师不是经常说要讲究效率吗?
我建议你去买一本好的参考书,比如《五年高考。三年模拟》 或着先看教材,把一些基础的东西弄懂了。 再去看参考书,上面不仅有例题,而且有每年各省的高考题。 我就是按照这样做的,不仅数学很好,而且其他科也很好。
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同学,上面那些人都是在网站上粘贴来的。
这些看了对你没有好处啊,会越看越蒙(你不觉得吗)?
而且也没有例题,这样下来,你会很没有效率,老师不是经常说要讲究效率吗?
我建议你去买一本好的参考书,比如《五年高考。三年模拟》 或着先看教材,把一些基础的东西弄懂了。 再去看参考书,上面不仅有例题,而且有每年各省的高考题。 我就是按照这样做的,不仅数学很好,而且其他科也很好。
所以高考很不错,自己也很满意
祝你
好好学习,天天向上!
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