作业帮已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 11:24:55
已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式
已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式
已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式
设f(x)=ax^2+bx+c,
因为f(0)=0,所以c=0
因为f(x+1)=f(x)+x+1,带入得a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+bx+c+x+1.
化简x^2+(2a+b)x+a+b=ax^2+(b+1)x+1
得2a+b=b+1,a+b=1,
所以a=b=1/2.
f(x)=1/2x^2+1/2x
用待定系数法
设f(x)=ax^2+bx+c f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c
假定f(x)=0 f(x+1)=0 则f(x)=f(x+1）所以ax^2+bx+c=a(x+1)^2+b(x+1)+c
解得：2ax+a+b-x=1 因为f(0)=0 f(x)=0 f(x+1)=0(假定） 所以x=0或x=-1
当x=-1时，f(x)=ax^2+...
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用待定系数法
设f(x)=ax^2+bx+c f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c
假定f(x)=0 f(x+1)=0 则f(x)=f(x+1）所以ax^2+bx+c=a(x+1)^2+b(x+1)+c
解得：2ax+a+b-x=1 因为f(0)=0 f(x)=0 f(x+1)=0(假定） 所以x=0或x=-1
当x=-1时，f(x)=ax^2+bx+c =a-b+c 因为f(x)=0 所以解得c=0
所以a-b+c=a-b=0 所以a=b 所以2ax+a+b-x=1 解得：2a(x+1)-x=1
当x=0时 (符合f(x)=f(0)=0) 所以2a(0+1)-0=1 解得a=1/2 先前解得a=b c=0 所以b=1/2
所以f(x)=ax^2+bx+c=(1/2) x^2+（1/2)x
过程有点复杂，不过希望能帮到你！
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因为f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1
所以 当x=0时，f(1)=f(0)+0+1=1
当x=1时，f(2)=f(1)+1+1=3 =1+2
当x=2时，f(3)=f(2)+2+1=6 =1+2+3
当x=3时，f(4)=f(3)+3+1=10 =1+2+3+4
...
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因为f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1
所以 当x=0时，f(1)=f(0)+0+1=1
当x=1时，f(2)=f(1)+1+1=3 =1+2
当x=2时，f(3)=f(2)+2+1=6 =1+2+3
当x=3时，f(4)=f(3)+3+1=10 =1+2+3+4
当x=4时，f(5)=f(4)+4+1=15 =1+2+3+4+5
当x=5时，f(6)=f(5)+5+1=21 =1+2+3+4+5+6
……
所以 当x=n时，f(n)=1+2+3+4+……+n=(n+1)*n/2=(n^2+n)/2
即f(x)的解析式为f(x)=(x^2+x)/2
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