作业帮已知ca^3+bc^3+ab^3-ba^3-cb^3-ac^3=0,求证a+b+c=0a,b,c互异
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 07:17:11
已知ca^3+bc^3+ab^3-ba^3-cb^3-ac^3=0,求证a+b+c=0a,b,c互异
已知ca^3+bc^3+ab^3-ba^3-cb^3-ac^3=0,求证a+b+c=0
a,b,c互异
已知ca^3+bc^3+ab^3-ba^3-cb^3-ac^3=0,求证a+b+c=0a,b,c互异
ca^3+bc^3+ab^3-ba^3-cb^3-ac^3
=ca^3-ac^3+bc^3-ba^3+ab^3-cb^3
=ac(a^2-c^2)+b(c^3-a^3)+b^3(a-c)
=ac(a+c)(a-c)+b(c-a)(c^2+ac+a^2)+b^3(a-c)
=(a-c)(a^2c+ac^2-bc^2-abc-a^2b+b^3)
=(a-c)[a^2c-a^2b+ac^2-abc+b^3-bc^2]
=(a-c)[a^2(c-b)+ac(c-b)+b(b+c)(b-c)]
=(a-c)(b-c)(-a^2-ac+b^2+bc)
=(a-c)(b-c)[(b-a)(b+a)+c(b-a)]
=(a-c)(b-c)(b-a)(a+b+c)
=0
所以a=b,或b=c,或c=a,或a+b+c=0
ca^3+bc^3+ab^3-ba^3-cb^3-ac^3=0
(ca^3-ba^3)+(bc^3-ac^3)+(ab^3-cb^3)=0
........
ca^3+bc^3+ab^3-ba^3-cb^3-ac^3
=(ca^3-ac^3)+(bc^3-cb^3)+(ab^3-ba^3)
=ac(a+c)(a-c)+bc(c-b)(c+b)+ab(b-a)(b+a)
=-abc(a-c)-abc(c-b)-abc(b-a)
=-abc(a-c+c-b+b-a)
=-abc*0
=0
ca^3+bc^3+ab^3-ba^3-cb^3-ac^3=0
(ca^3-ac^3)+(bc^3-cb^3)+(ab^3-ba^3)=0
ac(a+c)(a-c)+bc(c-b)(c+b)+ab(b-a)(b+a)=0
-abc(a-c)-abc(c-b)-abc(b-a)=0
-abc(a-c+c-b+b-a)=0
-abc=0
所以a+b+c=0