作业帮∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分 ∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 04:25:29
∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分 ∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分
∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分
∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分
∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分 ∫ln(x+√(1+x^2))dx 求不定积分
∫ln(x+√(1+x^2))dx
=xln(x+√(1+x^2) -∫xd(ln(x+√(1+x^2))
[ln(x+√1+x^2)]'=[1+x/√(1+x^2)]/(x+√(1+x^2))=1/√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-∫xdx/√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-(1/2)∫d(1+x^2)/√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-√(1+x^2)+C
楼主，你如果对双曲正弦，三角余弦函数有经验的话，就会知道y=ln(x+sqrt(1+x^2))是三角正弦函数y=sinh(x)的反函数
所以这里令x=sinh(t),那就有ln(x+√(1+x^2))dx=t*dsinh(t)=t*cosh(t)dt
然后用分部积分可以得到不定积分为t*sinh(t)-sinh(t)=(t-1)*sinh(t)
换成x就是(ln(x+√(1...
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楼主，你如果对双曲正弦，三角余弦函数有经验的话，就会知道y=ln(x+sqrt(1+x^2))是三角正弦函数y=sinh(x)的反函数
所以这里令x=sinh(t),那就有ln(x+√(1+x^2))dx=t*dsinh(t)=t*cosh(t)dt
然后用分部积分可以得到不定积分为t*sinh(t)-sinh(t)=(t-1)*sinh(t)
换成x就是(ln(x+√(1+x^2))-1)*x
收起
∫ln(x+√1+x^2)dx
=x*ln(x+√1+x^2)-∫xdln(x+√1+x^2)
=x*ln(x+√1+x^2)-∫(x/√(1+x^2)*dx
设x=tant t=arctanx
∫(x/√(1+x^2)*dx=
∫tant/√(1+tant^2)*dtant=∫tant*sectdt=∫tant*sectdt
=sect=sec（arctanx）
所以上式=x*ln(x+√1+x^2)-sec（arctanx）+c