作业帮求积分：∫（r^3/(r^2+x^2)）dr 问错了。分母上还有个二分之三次方~∫（r^3/(r^2+x^2)^(3/2)）dr
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 02:32:20
求积分：∫（r^3/(r^2+x^2)）dr 问错了。分母上还有个二分之三次方~∫（r^3/(r^2+x^2)^(3/2)）dr
求积分：∫（r^3/(r^2+x^2)）dr
问错了。分母上还有个二分之三次方~
∫（r^3/(r^2+x^2)^(3/2)）dr
求积分：∫（r^3/(r^2+x^2)）dr 问错了。分母上还有个二分之三次方~∫（r^3/(r^2+x^2)^(3/2)）dr
∫r³/(r²+x²)^(3/2) dr
令u=r²+x²
du=2r dr
原式=(1/2)∫(u-x²)/u^(3/2) du
=(1/2)∫[1/√u - x²/u^(3/2)] du
=(1/2)[2√u + 2x²/√u] + C
=√u + x²/√u + C
=(u+x²)/√u + C
=(r²+2x²)/√(r²+x²) + C
∫（r^3/(r^2+x^2)）dr
从此式可以断定r是积分变量
x可以看为常数
∫（r^3/(r^2+x^2)）dr=∫（r^3/(r^2+x^2)）dr =1/2∫（r^2/(r^2+x^2)）dr^2
=1/2∫(r^2+x^2-x^2)/(r^2+x^2)）dr ^2
=1/2∫1-x^2(r^2+x^2)dr^2
=1/2r^2-1/2x^2In(r^2+x^2)+c(常数 )
设r=x*tant,则：
dr=x*dt/(cost)^2
(r^2+x^2)=x^2/(cost)^2
(r^2+x^2)^(3/2)=x^3/(cost)^3
（r^3/(r^2+x^2)^(3/2)）dr=x(sint)^3*dt/(cost)^2
因为：d(cost)=-(sint)*dt
代入可得上式，得：
（r^3/(r^2+x^...
全部展开
设r=x*tant,则：
dr=x*dt/(cost)^2
(r^2+x^2)=x^2/(cost)^2
(r^2+x^2)^(3/2)=x^3/(cost)^3
（r^3/(r^2+x^2)^(3/2)）dr=x(sint)^3*dt/(cost)^2
因为：d(cost)=-(sint)*dt
代入可得上式，得：
（r^3/(r^2+x^2)^(3/2)）dr=-x(sint)^2*dcost/(cost)^2
因为：(sint)^2+(cost)^2=1
代入可得上式，得：
（r^3/(r^2+x^2)^(3/2)）dr=-x(1-(cost)^2)*dcost/(cost)^2
=-x*dcost/(cost)^2 + x*dcost
对上式积分，得：
x/(cost) + x(cost) + C
将t=arctan(r/x)代入上式即可。
收起
原式=∫(r³+rx²-rx²)/(r²+x²) dr
=∫[r(r²+x²)-rx²]/(r²+x²) dr
=∫[r-rx²/(r²+x²)] dr
=∫rdr-x²∫r/(r²+x²)dr
=r...
全部展开
原式=∫(r³+rx²-rx²)/(r²+x²) dr
=∫[r(r²+x²)-rx²]/(r²+x²) dr
=∫[r-rx²/(r²+x²)] dr
=∫rdr-x²∫r/(r²+x²)dr
=r²/2-x²/2∫1/(r²+x²)d(r²+x²)
=r²/2-x²/2*ln(r²+x²)+C
收起