如何用拉格朗日定理证不等式:e的x次方大于ex, x大于1 急

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 02:34:20

如何用拉格朗日定理证不等式:e的x次方大于ex, x大于1 急
如何用拉格朗日定理证不等式:e的x次方大于ex, x大于1 急

如何用拉格朗日定理证不等式:e的x次方大于ex, x大于1 急
设函数f(x)=e^x-ex, x∈（1,+∞）,
在区间（1,x0）可导,在区间[1,x0]上连续,
根据拉格朗日中值定理,在区间（1,x0)内可找到一点ξ,使得f(x0)=f(1)+f'(ξ)*(x0-1),
f'(x)=e^x-e,
在ξ点的导数为e^ξ-e,
f(1)=e-e=0,
f(x0)=0+(e^ξ-e)(x0-1),
∵ξ>1,
∴e^ξ-e>0,
∵x0>1,
∴x0-1>0,
∴(e^ξ-e)(x0-1)>0,
∴f(x0)>0,
∴e^x0-ex0>0,
∴e^x0>ex0.
x0∈（1,+∞）,
∴e^x>ex.

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