初二的勾股定理小论文,800字,简单的,急!最好是自己写的,不是的话也要在百度中很少出现的.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/28 10:10:22
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勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究,希腊著名数学家毕达哥拉斯(前580至568- 前501至500)曾对本定理有所研究,故西方国家均 称此定理为毕达哥拉斯定理,据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理,当他在公元前550前年左右发现这个定理时,宰杀了百头牛羊以谢神的默示.但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传.著名的希 腊数学家欧几里得(前330-前275)在巨著《几何原本》(第Ⅰ卷,命题47)中给出一个很好的证明(如图1):分别以直角三角形的直角边AB,AC及斜边BC向外作正方形,ABFH,AGKC及BCED,连FC,BK,作AL⊥DE.则欧几里得通过△BCF及△BCK为媒介.证明了正方形ABFH与矩形BDLM及正方形ACKG与矩形MLEC等积,于是推得AB2+AC2=BC2.
在我国,这个定理的叙述最早见于《周髀算经 》(大约成书于公元前一世纪前的西汉时期),书中有一段商高(约前1120)答周公问中有“勾广三 ,股修四,经隅五”的话,意即直角三角形的两条直角边是3及4、则斜边是5.书中还记载了陈子( 前716)答荣方问:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之、得邪至日”,古汉语中邪作斜解,因此这一句话明确陈述了勾股定理的内容.至三国的赵爽(约3世纪),在他的数学文献《勾股圆方图》中(作为《周髀算经》的注文,而被保留于该书之中).运用弦图,巧妙的证明了勾股定理,如图2.他把三角形涂成红色,其面积叫“朱实”,中间正方形涂成黄色叫做“中黄实”,也叫“差实”.他写道:“按弦图,又可勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差相乘为中黄实,加差实,亦称弦实”.若用现在的符号,分别用a、b、c记勾、股、弦之长,赵爽所述即2ab+(a-b)2=c2,化简之得a2+b2=c2.
你自己写吧,抄袭可不好
证法1
作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED, ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG...
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证法1
作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED, ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°, BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 A2+B2=C2
证法2
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点 F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC, ∴ ∠MPC = 90°, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90°, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°, ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, ∴ ∠QBM = ∠ABC, 又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, ∴FI=a, ∴G,I,J在同一直线上, ∵CJ=CF=a,CB=CD=c, ∠CJB = ∠CFD = 90°, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD , 同理,RtΔABG ≌ RtΔADE, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直线上, A2+B2=C2。
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE, 交AB于点M,交DE于点L. ∵ AF = AC,AB = AD, ∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, ∵ ΔFAB的面积等于, ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证,矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即A2+B2=C2
证法5(欧几里得的证法)
《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下: 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下: 设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²;。同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2;。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6(欧几里德(Euclid)射影定理证法)
如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如下: (1)(BD)2;=AD·DC, (2)(AB)2;=AD·AC , (3)(BC)2;=CD·AC。 由公式(2)+(3)得:(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)2;, 图1即 (AB)2;+(BC)2;=(AC)2,这就是勾股定理的结论。 图1
证法七(赵爽弦图)
在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子: 4×(ab/2)+(b-a)2 =c2; 化简后便可得:a2 +b2 =c2; 亦即:c=(a2 +b2 )1/2 勾股定理的别名 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”. 前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。 1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。 2. 陈良佐:周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期,255-281页。 3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾,1991年7月, 227-234页。 4. 李继闵:商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页。 5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷, 台湾,1996年9月第3期, 20-27页
证法8(达芬奇的证法)
达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。 证明: 第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2 所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E' 又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 所以OF2+OE2=E'F'2 因为E'F'=EF 所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。
证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下:
b ( a + b )= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直 角三角形。 (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2 - b2 + a2 = c2; a2 + b2 = c2; 注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。
证法10
在Rt三角形ABC中,角C=90度,作CH垂直于AB于H。 令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d 1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c =(a^2+b^2)/c^2=1 所以a^2+b^2=c^2 得证。
编辑本段习题及答案
将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转,使点A落在BC边上的A',利用阴影部分面积完成勾股定理的证明。∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c;求证:a2+b2=c2. 答案 证明:作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上,连接AA' 、BB', 延长B'A'交AB于点M。 ∵△A'B'C是由△ABC旋转所得 ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C ∴∠A'B'C=∠ABC 延长B'A'交AB于点M 则∠A'B'C+∠B'A'C=90° 而∠B'A'C=∠MA'B(对顶角相等) ∴∠MBA'+MA'B=90° ∴B'M⊥AB ∴Rt△ABC∽Rt△A'BM ∴A'B/AB=A'M/AC 即(a-b)/c=A'M/b ∴A'M=(a-b)·b/c ∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M] =(1/2)·c·[c+(a-b)·b/c] =(1/2)c2+(1/2)(a-b)·b =(1/2)[c2+ab-b2] S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab) 而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B ∴(1/2)[c2+ab-b2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a2-ab) 则c2+ab-b2=2ab+a2-ab ∴a2+b2=c2. 勾股数
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