作业帮1的平方＋2的平方＋3的平方＋...＋100的平方等于多少并且稍微写一下理由.3者都具备的加100分!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 12:03:05
1的平方＋2的平方＋3的平方＋...＋100的平方等于多少并且稍微写一下理由.3者都具备的加100分!
1的平方＋2的平方＋3的平方＋...＋100的平方等于多少
并且稍微写一下理由.
3者都具备的加100分!
1的平方＋2的平方＋3的平方＋...＋100的平方等于多少并且稍微写一下理由.3者都具备的加100分!
有个平方和公式
1^2+2^2+3^2+.+n^2=1/6*n(2n+1)(n+1)
所以1^2+2^2+3^2+4^2+...+100^2=1/6*100*201*101
=338350
答案等于338350
因为：
1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n=n(n＋1)(2n＋1)/6
来历是:用完全立方公式和等差数列求和公式推导
因为:
(n＋1)^3=n^3+3n^2+3n+1
在这个等式中,让依次取从1开始的n个连续的自然数,就得到n个相对应的等式,
2^3=1^3+3×1^2+3×1+1
3^3=2...
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答案等于338350
因为：
1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n=n(n＋1)(2n＋1)/6
来历是:用完全立方公式和等差数列求和公式推导
因为:
(n＋1)^3=n^3+3n^2+3n+1
在这个等式中,让依次取从1开始的n个连续的自然数,就得到n个相对应的等式,
2^3=1^3+3×1^2+3×1+1
3^3=2^3+3×2^2+3×2+1
4^3=3^3+3×3^2+3×3+1
………………
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
将这个等式中等号两边的式子分别加起来,划去等号两边相同的数,就得到,
(n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)+n
第二个括号内的和就是一个等差数列,和为n(1+n)÷2,于是
(n+1)^3=1+3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3n(n+1)÷2+n
所以, 3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)= (n+1)^3－3n(n+1)÷2－(n+1)
=n^3+3n^2+3n+1－3n^2/2－3n/2－n－1
=n^3+3/2n^2+n/2
所以, 1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/3(n^3+3n^2/2+n/2)
=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式的用途很大,除了用于计算连续自然数的平方和外,在初高中的代数恒等变形中有着很大的作用. 如果是的话希望不吝采纳！
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有个平方和公式
1/6*n(2n+1)(n+1)
所以1^2+2^2+3^2+4^2+...+100^2=1/6*100*201*101
=338350
平方和公式：
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式给个非常简单的推导。如下图，画一个数字三角形：
把1^2看作一个1，2^2看作两个2...以此类推。所以1^2+2^2+...+n^2就是这个三角形中所有数字之和。
1
2,2
3,3,3
......
n,n,n,...n
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平方和公式：
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
这个公式给个非常简单的推导。如下图，画一个数字三角形：
把1^2看作一个1，2^2看作两个2...以此类推。所以1^2+2^2+...+n^2就是这个三角形中所有数字之和。
1
2,2
3,3,3
......
n,n,n,...n
把它顺时针旋转120度，则得另一个图，再旋转120度，又得到第三个图，把图中对应位置上的数字相加，可以发现，将得到的第四个图中，三角形中每个数都是2n+1，而且这个三角形中一共会有1+2+3+...+n=n(n+1)/2个数。所以三个三角形中所有数字之和为n(n+1)(2n+1)/2,而这是三个三角形的数字之和，一个三角形的话也就是再除以三，也即1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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